Otimização em Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica

Unidade 3

Resolução de Problemas de Otimização Usando Metodologias Clássicas

3.2. Método de Gauss-Seidel

Solução de Equações Algébricas Não-lineares

• As técnicas mais comumente utilizadas para solução de equações agébricas não-lineares são os métodos Gaus-Seidel, Newton-Raphson e Quase-Newton.

• Inicialmente, será apresentando o método Gaus-Seidel unidimensional e, seguidamente, será extendido a equações $\small n$-dimensionais.

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

O método Gauss-Seidel também é conhecido como "Método de deslocamentos sucessivos".

Para ilustrar a técnica, considere a solução da equação não-linear dada por:

$\small f(x) = 0$

A anterior função é rearanjada e escrita como:

$\small x = g(x)$

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

Se $\small x^{(k)}$ é uma aproximação inicial da variável $\small x$, então é formada a seguinte sequência iterativa:

$\small x^{(k+1)} = g \left({ x^{(k)} }\right) $

A solução é obtida quando a diferença entre o valor absoluto de uma iteração sucessiva é menor que uma tolerância especificada $\small \epsilon$, isto é:

$\small | x^{(k+1)} - x^{(k)} | \leq \epsilon$

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

Considerando agora um sistema de $\small n$ equações não-lineares com $\small n$ incógnitas:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_1}}\\ {{f_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_2}}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_n}} \end{array} $

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_1}}\\ {{f_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_2}}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_n}} \end{array} $

Resolvendo para cada equação, as funções acima são rearranjadas e escritas como:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = c_1 + g_1\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}\\ {{x_2} = c_2 + g_2\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}\\ \vdots \\ {{x_n} = c_n + g_n\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)} \end{array} $

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = c_1 + g_1\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}\\ {{x_2} = c_2 + g_2\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}\\ \vdots \\ {{x_n} = c_n + g_n\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)} \end{array} $

O processo iterativo é iniciado assumindo uma solução aproximada para cada variável independentemente ($\small x_1^{(0)}$, $\small x_2^{(0)}$, $\small \cdots$, $\small x_n^{(0)}$).

A solução do sistema de equações anterior resulta em uma nova aproximação ($\small x_1^{(1)}$, $\small x_2^{(1)}$, $\small \cdots$, $\small x_n^{(1)}$).

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

No método Gauss-Seidel, os valores atualizados das variáveis calculadas nas anteriores equações são imediatamente usados na solução das equações subsequentes.

No final de cada iteração, os valores calculados de todas as variáveis são comparados com seus correspondentes valores prévios. Se todas as mudanças nas variáveis estão dentro da tolerância especificada, a solução tem convergido.

A velocidade de convergência pode ser incrementada usando um fator de aceleração $\small \alpha$, e a iteração subsequente fica:

$\small x_i^{(k + 1)} = x_i^{(k)} + \alpha ( x_{i,calc}^{(k + 1)} - x_i^{(k)})$

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

Retomando o sistema de $\small n$ equações não-lineares com $\small n$ incógnitas:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_1}}\\ {{f_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_2}}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_n}} \end{array} $

ou

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots a_{1n} x_n = {c_1}}\\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots a_{2n} x_n = {c_2}}\\ \vdots \\ {a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + \cdots a_{nn} x_n = {c_n}} \end{array} $

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots a_{1n} x_n = {c_1}}\\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots a_{2n} x_n = {c_2}}\\ \vdots \\ {a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + \cdots a_{nn} x_n = {c_n}} \end{array} $

Resolvendo para $\small x_1$, $\small x_2$, $\small \cdots$, $\small x_n$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1 = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2 - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3 - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n }\right)}\\ {x_2 = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1 - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3 - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n }\right)}\\ \vdots \\ {x_n = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2 - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1} }\right)} \end{array} $

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1 = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2 - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3 - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n }\right)}\\ {x_2 = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1 - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3 - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n }\right)}\\ \vdots \\ {x_n = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2 - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1} }\right)} \end{array} $

Na primeira iteração, $\small k = 1$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(0)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(0)} }\right)}\\ {x_2^{(1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(0)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(1)} }\right)} \end{array} $

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(0)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(0)} }\right)}\\ {x_2^{(1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(0)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(1)} }\right)} \end{array} $

Na iteração $\small k + 1$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(k + 1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(k)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(k)} }\right)}\\ {x_2^{(k + 1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(k)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(k + 1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(k + 1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(k + 1)} }\right)} \end{array} $

Solução de Equações Algébricas Não-lineares - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(k + 1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(k)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(k)} }\right)}\\ {x_2^{(k + 1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(k)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(k + 1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(k + 1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(k + 1)} }\right)} \end{array} $

Assim, para $\small i = 1, 2, 3, \cdots, n$, na iteração $\small k + 1$, tem-se a seguinte expressão geral para o cálculo de $\small x_i^{(k + 1)}$:

$\small x_i^{(k + 1)} = \frac{c_i}{a_{ii}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k + 1)} } - \sum\limits_{j = i + 1}^{n} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k)} } $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

Considerando um sistema de $\small n$ equações não-lineares com $\small n$ incógnitas:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_1}}\\ {{f_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_2}}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_n}} \end{array} $

ou

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots a_{1n} x_n = {c_1}}\\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots a_{2n} x_n = {c_2}}\\ \vdots \\ {a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + \cdots a_{nn} x_n = {c_n}} \end{array} $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots a_{1n} x_n = {c_1}}\\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots a_{2n} x_n = {c_2}}\\ \vdots \\ {a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + \cdots a_{nn} x_n = {c_n}} \end{array} $

Resolvendo para $\small x_1$, $\small x_2$, $\small \cdots$, $\small x_n$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1 = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2 - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3 - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n }\right)}\\ {x_2 = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1 - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3 - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n }\right)}\\ \vdots \\ {x_n = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2 - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1} }\right)} \end{array} $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1 = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2 - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3 - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n }\right)}\\ {x_2 = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1 - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3 - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n }\right)}\\ \vdots \\ {x_n = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2 - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1} }\right)} \end{array} $

Na primeira iteração, $\small k = 1$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(0)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(0)} }\right)}\\ {x_2^{(1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(0)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(1)} }\right)} \end{array} $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(0)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(0)} }\right)}\\ {x_2^{(1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(0)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(1)} }\right)} \end{array} $

Na iteração $\small k + 1$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(k + 1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(k)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(k)} }\right)}\\ {x_2^{(k + 1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(k)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(k + 1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(k + 1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(k + 1)} }\right)} \end{array} $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(k + 1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(k)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(k)} }\right)}\\ {x_2^{(k + 1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(k)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(k + 1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(k + 1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(k + 1)} }\right)} \end{array} $

Para $\small i = 1, 2, 3, \cdots, n$, na iteração $\small k + 1$, tem-se que:

$\small x_i^{(k + 1)} = \frac{c_i}{a_{ii}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k + 1)} } - \sum\limits_{j = i + 1}^{n} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k)} } $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

Considere o barramento típico de uma rede de um sistema de potência apresentado na figura a seguir.

As linhas de transmissão estão representadas pelo seu modelo equivalente $\small \pi$ com as impedâncias convertidas a admitâncias em pu, usando uma mesma potência base.

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

Aplicando a lei de correntes de Kirchhoff.

$\small {I_i} = {y_{i0}}{V_i} + {y_{i1}}\left( {{V_i} - {V_1}} \right) + {y_{i2}}\left( {{V_i} - {V_2}} \right) + \cdots + {y_{in}}\left( {{V_i} - {V_n}} \right)$

$\small {I_i} = \left( {{y_{i0}} + {y_{i1}} + {y_{i2}} + \cdots + {y_{in}}} \right){V_i} - {y_{i1}}{V_1} - {y_{i2}}{V_2} - \cdots - {y_{in}}{V_n}$

ou

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{I_i} = {V_i}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}{\rm{ }}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{I_i} = {V_i}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}{\rm{ }}$

A expressão de potência ativa e reativa na barra $\small i$ é:

$\small P_i + jQ_i = V_i I_i^*$

ou

$\small I_i = \frac{P_i - jQ_i}{V_i^*}$

Assim, temos que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}} = }&{{V_i}} \end{array}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}} = }&{{V_i}} \end{array}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}$

Em estudos de fluxo de potência, é necessário resolver um conjunto de equações não-lineares representadas pela equação anterior para dois variáveis desconhecidas em cada barra. No Método de Gauss-Seidel, a equação anterior é resolvida para $\small V_i$ e a sequência iterativa fica da seguinte forma:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j^{\left( {k} \right)}}} }}{{{\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}}}}};}&{j \ne i} \end{array}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostrado:

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

Transformando cada fonte de tensão em série com impedância em fonte de corrente em paralelo com admitância e as impedâncias das linhas em admitâncias, obtem-se o seguinte sistema:

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

Transformação das fontes:

$\small {I}_1 = \frac{{V}_1}{z_{11}} = \frac{{V}_1}{z_{g1} + z_{t1}}; \ \ \ \ y_1 = \frac{1}{z_{11}} = \frac{1}{z_{g1} + z_{t1}}; \ \ \ \ y_4 = \frac{1}{z_{12}};$

$\small {I}_2 = \frac{{V}_2}{z_{22}} = \frac{{V}_2}{z_{g2} + z_{t2}}; \ \ \ \ y_2 = \frac{1}{z_{22}} = \frac{1}{z_{g2} + z_{t2}}; \ \ \ \ y_5 = \frac{1}{z_{23}};$

$\small {I}_3 = \frac{{V}_3}{z_{33}} = \frac{{V}_3}{z_{g3} + z_{t3}}; \ \ \ \ y_3 = \frac{1}{z_{33}} = \frac{1}{z_{g3} + z_{t3}}; \ \ \ \ y_6 = \frac{1}{z_{13}}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

Equações nodais:

$\small {\rm{Barra \ 1:}} \ \ {I}_1 = y_4 \left( { {V}_1 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_1 - {V}_3 } \right) + y_1 \left( { {V}_1 - {V}_0 } \right)$

$\small {\rm{Barra \ 2:}} \ \ {I}_2 = y_5 \left( { {V}_2 - {V}_3 } \right) + y_4 \left( { {V}_2 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_2 - {V}_0 } \right)$

$\small {\rm{Barra \ 3:}} \ \ {I}_3 = y_5 \left( { {V}_3 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_3 - {V}_1 } \right) + y_3 \left( { {V}_3 - {V}_0 } \right)$

$\small {\rm{Barra \ 0:}} \ \ - {I}_1 - {I}_2 - {I}_3 = y_1 \left( { {V}_0 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_0 - {V}_2 } \right) + y_3 \left( { {V}_0 - {V}_3 } \right)$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

$\small {\rm{Barra \ 1:}} \ \ {I}_1 = y_4 \left( { {V}_1 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_1 - {V}_3 } \right) + y_1 \left( { {V}_1 - {V}_0 } \right)$

$\small {\rm{Barra \ 2:}} \ \ {I}_2 = y_5 \left( { {V}_2 - {V}_3 } \right) + y_4 \left( { {V}_2 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_2 - {V}_0 } \right)$

$\small {\rm{Barra \ 3:}} \ \ {I}_3 = y_5 \left( { {V}_3 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_3 - {V}_1 } \right) + y_3 \left( { {V}_3 - {V}_0 } \right)$

A equação da barra 0 é linearmente dependente das outras três equações. Agrupando os termos das equações das barras 1, 2, 3, tem-se:

$\small {I}_1 = \left( { y_1 + y_4 + y_6 } \right) {V}_1 - y_4 {V}_2 - y_6 {V}_3$

$\small {I}_2 = - y_4 {V}_1 + \left( { y_2 + y_4 + y_5 } \right) {V}_2 - y_5 {V}_3$

$\small {I}_3 = - y_6 {V}_1 - y_5 {V}_2 + \left( { y_3 + y_5 + y_6 } \right) {V}_3$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

$\small {I}_1 = \left( { y_1 + y_4 + y_6 } \right) {V}_1 - y_4 {V}_2 - y_6 {V}_3$

$\small {I}_2 = - y_4 {V}_1 + \left( { y_2 + y_4 + y_5 } \right) {V}_2 - y_5 {V}_3$

$\small {I}_3 = - y_6 {V}_1 - y_5 {V}_2 + \left( { y_3 + y_5 + y_6 } \right) {V}_3$

Na forma matricial:

$\small {Y_{\rm{Barra}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 + y_4 + y_6 & - y_4 & - y_6 \\ - y_4 & y_2 + y_4 + y_5 & - y_5 \\ - y_6 & - y_5 & y_3 + y_5 + y_6 \end{array}} \right]$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência - Matriz Admitância de Barra

Na forma matricial:

$\small {Y_{\rm{Barra}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 + y_4 + y_6 & - y_4 & - y_6 \\ - y_4 & y_2 + y_4 + y_5 & - y_5 \\ - y_6 & - y_5 & y_3 + y_5 + y_6 \end{array}} \right]$

• $\small {I} = \left[ { {I}_1 \ \ {I}_2 \ \ {I}_3 } \right]^T $ é o vetor de injeção de corrente na rede por fontes independentes.

• $\small {V} = \left[ { {V}_1 \ \ {V}_2 \ \ {V}_3 } \right]^T $ é o vetor de tensão nas barras em relação à referência.

• $\small {Y_{\rm{Barra}}}$ é a matriz de admitância de barra ou matriz de admitância nodal.

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

Retomando a expressão de tensão deduzida anteriormente:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j^{\left( {k} \right)}}} }}{{{\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}}}}};}&{j \ne i} \end{array}$

Lembrando que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \end{array}\sum\limits_{j = 0, j \ne i}^n {{y_{ij}}} = Y_{ii} ;}&{\sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}} = - \sum\limits_{j = 1}^n {{Y_{ij}}}} \end{array}$

Temos a seguinte expressão:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} }}{{{Y_{ii}}}}} \end{array}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} }}{{{Y_{ii}}}}} \end{array}$

Assim, para a aplicação do Método de Gauss-Seidel, pode ser usada a seguinte expressão:

$\small V_i^{(k + 1)} = \frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}^{(k)} Y_{ii} } - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k + 1)}}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k)}}}$

Comparando com a formulação genérica do método, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{V_i} = {x_i};}&{{V_j} = {x_j};}&{{Y_{ii}} = {a_{ii}};}&{{Y_{ij}} = {a_{ij}};}&{\frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}} = {c_i}} \end{array}$

$\small x_i^{(k + 1)} = \frac{c_i}{a_{ii}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k + 1)} } - \sum\limits_{j = i + 1}^{n} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k)} } $

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

$\small V_i^{(k + 1)} = \frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*} Y_{ii} } - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k + 1)}}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k)}}}$

A anterior expressão também pode ser rearranjada como:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k + 1)}}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k)}}} }}{{{Y_{ii}}}}} \end{array}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

De forma similar, seguindo uma sequência iterativa e usando a expressão já demonstrada para o cálculo de $\small V_i^{\left( {k + 1} \right)}$, para calcular $\small P_i^{\left( {k + 1} \right)}$ e $\small Q_i^{\left( {k + 1} \right)}$ podem se usar as expressões:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {P_i^{\left( {k + 1} \right)} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {V{{_i^*}^{(k)}}\left[ {V_i^{(k)}{Y_{ii}} + \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} } \right]} \right\}} \end{array}$

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {Q_i^{\left( {k + 1} \right)} = - {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left\{ {V{{_i^*}^{(k)}}\left[ {V_i^{(k)}{Y_{ii}} + \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} } \right]} \right\}} \end{array}$

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

O que determina quais são as variáveis desconhecidas em cada barra é o tipo de barra, definidos a seguir:

• Barra slack ou de folga (barra tipo $\small V \theta$): Esta barra existe para suprir as perdas do sistema, desconhecidas até a solução da rede. Só existe uma barra flutuante em todo o sistema. Variáveis desconhecidas: $\small P$ e $\small Q.$

• Barra de carga (barra tipo $\small PQ$): Não existe qualquer controle de tensão nesta barra. A maioria das barras é deste tipo, aproximadamente 95% do total das barras Variáveis desconhecidas: $\small V$ e $\small \theta$.

• Barra de tensão controlada (barra tipo $\small PV$): Existem dispositivos de controle que permitem manter $\small P$ e $\small | V |$ em valores especificados, tais como geradores e compensadores síncronos. Algumas das barras do sistema são deste tipo, representando aproximadamente 5% do total de barras. Variáveis desconhecidas: $\small Q$ e $\small \theta$.

Exemplo de Aplicação do Método Gauss-Seidel: Fluxo de Potência

O processo de solução, usando o Método Gauss-Seidel, depende do tipo de barra, como especificado a seguir:

• Barra tipo $\small V \theta$. Nesta barra, a tensão (em módulo e ângulo) são conhecidas. Assim, após calcular a tensão nas outras barras do sistema, utiliza-se este resultado para calcular os valores das variáveis desconhecidas para esta barra ($\small P$ e $\small Q$).

• Barra tipo $\small PQ$. Nestas barras, os valores de potência ativa e reativa, correspondentes às cargas, são conhecidos ($\small P^{esp}$ e $\small Q^{esp}$). Assim, utiliza-se a expressão de tensão para calcular os valores das variáveis desconhecidas neste tipo de barra ($\small V$ e $\small \theta$).

• Barra tipo $\small PV$. Neste tipo de barra, a potência ativa, $\small P^{esp}$ (geração de potẽncia ativa), e o módulo da tensão, $\small | V |$, são conhecidos. Assim, calculam-se primeiro os valores de potência reativa, utilizando a expressão correspondente, e, com este resultado, calculam-se os valores dos ângulos das tensões, $\small \theta$, nas barras deste tipo.

Otimização em Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica