Unidade 8

Estudos de Estabilidade

8.4. Análise de Estabilidade Angular de Grandes Perturbações

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

Considere-se o seguinte gerador ligado a uma linha que, por sua vez, está conectada à rede externa:

Incluindo o circuito equivalente do gerador síncrono:

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

Simplificando:

$\small {X}_{{T}} = {{X'}}_{{d}} + {\rm{X}}_{\rm{E}}$

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

$\small {I}_{{t}} = \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \angle{-\delta}}{j{{X}}_{{T}}} = \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}}$

$\small {I}_{{t}} = \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}}$

$\small {S'}_{{t}} = {E'} {I}^{*}_{{t}}$

$\small {S'}_{{t}} = {E'} \left( \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}} \right)^{*}$

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

$\small {S'}_{{t}} = {E'} \left( \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}} \right)^{*}$

$\small {S'}_{{t}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} sen \delta }{{{X}}_{{T}}} + j \frac{ {{E'}} \left( {{E'}} - {{E}}_{{B}} cos \delta \right) }{{{X}}_{{T}}}$

$\small { {P}}_{ {e}} = {{\rm Re}} \left\{ { {S'}_{{t}} } \right\}$

$\small { {P}}_{ {e}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} sen \delta }{{{X}}_{{T}}}$

Potência máxima fornecida pelo gerador:

$\small \boxed{ { {P}}_{ {e,max}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} }{{{X}}_{{T}}} }$

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

Representação gráfica:

Estudos de Estabilidade - Mudança na Potência Mecânica

Resposta à mudança na potência mecânica:

Estudos de Estabilidade - Mudança na Potência Mecânica

Equações de Movimento ou Swing:

$\small p \left( { \Delta \omega_{ {r}} } \right) = \frac{ 1 }{2 { { {H}}}} \left( { { {T}}_{ {m}} - { {T}}_{ {e}} - { {K}}_{\rm {D}} \Delta \omega_{ {r}} } \right)$

$\small p \left( { \delta } \right) = \omega_{ {0}} \Delta \omega_{ {r}}$

sendo:

$\small p$ : Operador diferencial $\small p=d/dt$ .
$\small \Delta \omega_{ {r}}$ : Variação da velocidade.
$\small \omega_{ {0}}$ : Velocidade do rotor.
$\small T_{\rm {m}}$ : Torque mecânico no rotor.
$\small { {K}}_{\rm {D}}$ e $\small { {H}}$ : Coeficiente de torque de amortecimento e costante de inércia.

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

$\small p \left( { \Delta \omega_{ {r}} } \right) = \frac{ 1 }{2 { {H}}} \left( { { {T}}_{ {m}} - { {T}}_{ {e}} - { {K}}_{ {D}} \Delta \omega_{ {r}} } \right)$

$\small p \left( { \delta } \right) = \omega_{ {0}} \Delta \omega_{ {r}}$

Substituindo a segunda equação de movimento na primeira:

$\small 2 p^2 \left( { \delta } \right) = \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right)$

Aplicado $\small p \ \delta$ em ambos lados da equação:

$\small \boxed{ p \ \delta } \ 2 p^2 \left( { \delta } \right) = \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) \ \boxed{ p \ \delta }$

$\small 2 p \left( { p \ \delta } \right)^2 = \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) p \ \delta$

Integrando em ambos lados:

$\small \left( { \frac{ d \ \delta}{d \ { {t}}} } \right)^2 = \int { \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta }$

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

$\small \left( { \frac{ d \ \delta}{d \ { {t}}} } \right)^2 = \int { \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta }$

Para que exista estabilidade, a área total entre os limites $\small \delta_0$ e $\small \delta_{max}$ deve ser zero. Assim, tem-se que:

$\small \boxed { \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {0}}} { \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta } = 0 }$

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

$\small \boxed { \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {0}}} { \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta } = 0 }$

Considere-se a máquina operando no ponto de equilíbrio $\small \delta_0$ , correspondente à potência mecânica $\small P_{m,0} = P_{e,0}$ .

Considere-se agora um súbito incremento na entrada de potência, representada por $\small P_{m,1}$ .

Como $\small P_{m,1} > P_{e,0}$ , a potência acelerante no rotor é positiva e o ângulo $\small \delta$ aumenta.

A energia armazenada no rotor durante esta aceleração é $\small A_1$ .

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

$\small \boxed { \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {0}}} { \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta } = 0 }$

Com o aumento em $\small \delta$ , a potência elétrica também aumenta, e, quando $\small \delta = \delta_{1}$ , a potência elétrica alcança seu novo ponto $\small P_{m,1}$ . Embora a potência acelerante neste ponto seja zero, o rotor está girando acima da velocidade síncrona, já que $\small \delta$ e $\small P_{e}$ continuaram a aumentar.

Agora $\small P_{m,1} < P_{e}$ , o que causa que o rotor desacelere em direção à velocidade síncrona até que $\small \delta = \delta_{max}$ .

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

$\small \boxed { \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {0}}} { \frac{ \omega_{ {0}} }{{ {H}}} \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta } = 0 }$

A energia cedida pelo rotor quando desacelera em direção à velocidade síncrona é $\small A_2$ .

O resultado é que o rotor oscila em torno da velocidade correspondente ao ângulo $\small \delta_1$ fazendo com que $\small A_1 = A_2$ .

O amortecimento da máquina fará com que o rotor oscile entre $\small \delta_0$ e $\small \delta_{max}$ até se estabilizar no novo ponto de equilíbrio $\small \delta_1$ .

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

Definição das áreas $\small A_1$ e $\small A_2$ :

$\small \boxed { { {A}}_1 = \int^{\delta_{ {1}}}_{\delta_{ {0}}} { \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta } } \ \ \ \ \ \ \boxed { { {A}}_2 = \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {1}}} { \left( { { {P}}_{ {e}} - { {P}}_{ {m}} } \right) d \ \delta } }$

Estudos de Estabilidade - Critêrio das Áreas Iguais

$\small \boxed { { {A}}_1 = \int^{\delta_{ {1}}}_{\delta_{ {0}}} { \left( { { {P}}_{ {m}} - { {P}}_{ {e}} } \right) d \ \delta } } \ \ \ \ \ \ \boxed { { {A}}_2 = \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {1}}} { \left( { { {P}}_{ {e}} - { {P}}_{ {m}} } \right) d \ \delta } }$

Assim, o gerador permanecerá ESTÁVEL se $\small \boxed { { {A}}_1 \leq { {A}}_2}$

Estudos de Estabilidade - Resposta à Falta de uma Linha

Assumindo um curto-circuito na linha 2 do seguinte sistema:

O sistema de proteção isolará a linha em curto:

Estudos de Estabilidade - Resposta à Falta de uma Linha

Caso 1: O sistema volta à estabilidade.

Estudos de Estabilidade - Resposta à Falta de uma Linha

Caso 2: O sistema não volta à estabilidade.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Assuma-se agora um curto-circuito trifásico temporário no extremo emissor da linha 2:

Quando o curto-circuito é no extremo emissor da linha, não há potência transmitida ao barramento infinito. Como a resistência da linha está sendo desconsiderada, então a potência elétrica $\small P_e$ é zero.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Como $\small P_e$ é zero, então a curva corresponde ao eixo horizontal.

A máquina acelera com potência de entrada total como potência acelerante, aumentando assim sua velocidade, armazenando energia e aumentando seu ângulo $\small \delta$ .

Quando a falta é esclarecida, é assumido que ambas linhas permanecem intactas.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

A falta é esclarecida em $\small \delta_1$ o que muda a operação da máquina ao ponto correspondente a $\small e$ .

Nesse instante, a potência da rede está desacelerando e a energia, previamente armazenada, é reduzida a zero no ponto $\small f$ , quando a área $\small A_2$ iguala a área $\small A_1$ .

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Como $\small P_e$ é ainda maior que $\small P_m$ , o rotor continua a desacelerar e o ângulo $\small \delta$ pasa de novo pelo ponto $\small e$ .

O ângulo do rotor então oscila voltando ao valor original de $\small \delta_0$ , na sua frequência natural.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

O é alcançado quando qualquer incremento adicional em $\small \delta_1$ causa que a área $\small A_2$ (energia desacelerante) seja menor que a área $\small A_1$ (energia acelerante).

Isto acontece quando $\small \delta_{max}$ , ou ponto $\small f$ , está na interseção entre a linha $\small P_m$ e a curva, como mostrado na figura anterior.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Aplicando o critério das áreas iguais (com $\small P_e = 0$ ) para determinar o ângulo crítico, tem-se que:

$\small { { {A}}_1 = \int^{\delta_{ {c}}}_{\delta_{ {0}}} { { {P}}_{ {m}} \ d \ \delta } } ={ { {A}}_2 = \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {c}}} { \left( { P_{max} sen \delta - { {P}}_{ {m}} } \right) d \ \delta } }$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

$\small { { {A}}_1 = \int^{\delta_{ {c}}}_{\delta_{ {0}}} { { {P}}_{ {m}} \ d \ \delta } } ={ { {A}}_2 = \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {c}}} { \left( { P_{max} sen \delta - { {P}}_{ {m}} } \right) d \ \delta } }$

Integrando ambos lados, tem-se que:

$\small P_m (\delta_c - \delta_0) = P_{max} (cos \delta_c - cos \delta_{max} ) - P_m ( \delta_{max} - \delta_c )$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

$\small P_m (\delta_c - \delta_0) = P_{max} (cos \delta_c - cos \delta_{max} ) - P_m ( \delta_{max} - \delta_c )$

Resolvendo para $\delta_c$ , tem-se que:

$\small \boxed{ cos \delta_c = \frac{P_{m}}{P_{max}} ( \delta_{max} - \delta_0 ) + cos \delta_{max} }$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

A aplicação do critério das áreas iguais faz possível determinar o ângulo $\delta_c$ no qual a máquina permanece estável; porém, o correspondente tempo crítico deve ser determinado resolvendo o sistema de equações não lineares (equações de movimento).

Para este caso particular, em que a potência elétrica durante a falta é zero ( $\small P_e = 0$ ), pode ser obtida uma solução analítica para determinar o tempo crítico $\small t_c$ .

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Das equações de movimento, e com $\small P_e = 0$ , tem-se que:

$\small \frac{H}{\pi f_0} p^2 \left( { \delta } \right) = {P}_{ {m}}$

ou:

$\small \frac{H}{\pi f_0} \frac{ d^2 \delta}{d t^2} = {P}_{ {m}}$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

$\small \frac{H}{\pi f_0} \frac{ d^2 \delta}{d t^2} = {P}_{ {m}}$

Integrando ambos lados, tem-se que:

$\small \frac{d \delta}{d t} = \frac{ \pi f_0}{H} {P}_{ {m}} \int^{0}_{t} {d t} = \frac{ \pi f_0}{H} {P}_{ {m}} t$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

$\small \frac{d \delta}{d t} = \frac{ \pi f_0}{H} {P}_{ {m}} \int^{0}_{t} {d t} = \frac{ \pi f_0}{H} {P}_{ {m}} t$

Integrando, de novo, tem-se que:

$\small \delta = \frac{ \pi f_0}{2 H} {P}_{ {m}} t^2 + \delta_0$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

$\small \delta = \frac{ \pi f_0}{2 H} {P}_{ {m}} t^2 + \delta_0$

Assim, se o ângulo crítico é $\small \delta_c$ , então o correspondente tempo crítico, $t_c$ , é:

$\small \boxed{ t_c = \sqrt{ \frac{2 H (\delta_c - \delta_0)}{\pi f_0 P_m} } }$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Assuma-se agora que o curto-circuito trifásico temporário se apresenta, de novo na linha 2, mas a igual distância dos dois extremos da linha:

Quando o curto-circuito é nesse ponto da da linha, a reatância equivalente entre as barras diminui a capacidade de transferência de potência.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Quando a falta trifásica ocorre, o ponto de operação da máquina muda imediatamente para o ponto $\small b$ da curva $\small B$ .

O excesso da potência mecânica de entrada sobre a potência elétrica de saída, acelera o rotor, armazenando-se energia, e o ângulo $\small \delta$ aumenta.

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Assumindo que a falta é removida em $\small \delta_1$ isolando a linha em falta (linha 2), o ponto de operação da máquina então muda para $\small e$ , na curva $\small C$ .

A potência da rede está nesse momento desacelerando e a energia, previamente armazenada, é reduzida a zero no ponto $\small f$ , quando a área $\small A_2$ igual a área $\small A_1$ .

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Como $\small P_e$ é ainda maior que $\small P_m$ , então o rotor continua desacelerando passando, de novo, pelo ponto $\small e$ .

O ângulo do rotor oscilará então em torno do ponto $\small e$ até alcançar um novo ponto de operação estabelecido pela interseção de $\small P_m$ e a curva $\small C$ (em $\small \delta_1$ ).

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

O é alcançado quando qualquer incremento adicional de $\delta_1$ causa que a área $\small A_2$ (energia desacelerante) seja menor que a área $\small A_1$ (área acelerante).

Isto acontece quando $\small \delta_{max}$ , ou ponto $\small f$ , está na interseção da linha $\small P_m$ com a curva $\small C$ .

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Aplicando o critério das áreas iguais para determinar o ângulo crítico, tem-se que:

$\small { {P}}_{ {m}} ( \delta_c - \delta_0 ) - \int^{\delta_{ {c}}}_{\delta_{ {0}}} { { {P}}_{ {2,max}} sen \delta \ d \ \delta } = \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {c}}} { P_{3,max} sen \delta \ d \ \delta } - { {P}}_{ {m}} (\delta_{max} - \delta_c)$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

$\small { {P}}_{ {m}} ( \delta_c - \delta_0 ) - \int^{\delta_{ {c}}}_{\delta_{ {0}}} { { {P}}_{ {2,max}} sen \delta \ d \ \delta } = \int^{\delta_{ {max}}}_{\delta_{ {c}}} { P_{3,max} sen \delta \ d \ \delta } - { {P}}_{ {m}} (\delta_{max} - \delta_c)$

Integrando ambos lados e resolvenco para $\small \delta_c$ , tem-se que:

$\small \boxed{ cos \delta_c = \frac{ { {P}}_{ {m}} ( \delta_{max} - \delta_0 ) + P_{3,max} cos \delta_{max} - P_{2,max} cos \delta_{0} }{ P_{3,max} - P_{2,max} } }$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Resumo - aplicação de um curto-circuito trifásico no extremo emissor:

$\small { cos \delta_c = \frac{P_{m}}{P_{max}} ( \delta_{max} - \delta_0 ) +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos \delta_{max} }$

$\small { t_c = \sqrt{ \frac{2 H (\delta_c - \delta_0)}{\pi f_0 P_m} } }$

Estudos de Estabilidade - Aplicação de um Curto-Circuito Trifásico

Resumo - aplicação de um curto-circuito trifásico no meio da linha:

$\small { cos \delta_c = \\ \ \ \frac{ { {P}}_{ {m}} ( \delta_{max} - \delta_0 ) + P_{3,max} cos \delta_{max} - P_{2,max} cos \delta_{0} }{ P_{3,max} - P_{2,max} } }$

Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Universidade Federal do Espírito Santo

Departamento de Engenharia Elétrica

Prof. Augusto César Rueda Medina / CT-XI, Sala 27 / augusto.rueda@ufes.br