Análise de Sistemas de Energia Elétrica
Departamento de Engenharia Elétrica
Unidade 8
Estudos de Estabilidade
8.3. Análise de Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
Estudos de Estabilidade - Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
Equações de Movimento ou Swing:
$\small p \left( { \Delta \omega_{ {r}} } \right) = \frac{ 1 }{2 { { {H}}}} \left( { { {T}}_{ {m}} - { {T}}_{ {e}} - { {K}}_{\rm {D}} \Delta \omega_{ {r}} } \right) $
$\small p \left( { \delta } \right) = \omega_{ {0}} \Delta \omega_{ {r}} $
sendo:
$\small p$: Operador diferencial $\small p=d/dt$.
$\small \Delta \omega_{ {r}}$: Variação da velocidade.
$\small \omega_{ {0}}$: Velocidade do rotor.
$\small T_{\rm {m}}$: Torque mecânico no rotor.
$\small { {K}}_{\rm {D}}$ e $\small { {H}}$: Coeficiente de torque de amortecimento e costante de inércia.
Estudos de Estabilidade - Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
Expressão de $\small { {T}}_{ {e}}$ linearizada em torno de um ponto de operação inicial:
$\small \Delta { {T}}_{ {e}} = \frac{\partial { {T}}_{ {e}}}{\partial \delta} \Delta \delta \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \Delta { {T}}_{ {e}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} cos \delta }{{{X}}_{{T}}} \Delta \delta $
Linearização da primeira equação swing:
$\small p \left( { \Delta \omega_{ {r}} } \right) = \frac{ 1 }{2 { {H}}} \left( { \Delta { {T}}_{ {m}} - \Delta { {T}}_{ {e}} - { {K}}_{ {D}} \Delta \omega_{ {r}} } \right) $
$\small p \left( { \Delta \omega_{ {r}} } \right) = \frac{ 1 }{2 { {H}}} \left( { \Delta { {T}}_{ {m}} - { {K}}_{ {S}} \Delta \delta - { {K}}_{ {D}} \Delta \omega_{ {r}} } \right) $
$\small { {K}}_{ {S}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} cos \delta }{{{X}}_{{T}}} $
Estudos de Estabilidade - Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
$\small p \left( { \Delta \omega_{ {r}} } \right) = \frac{ 1 }{2 { {H}}} \left( { \Delta { {T}}_{ {m}} - { {K}}_{ {S}} \Delta \delta - { {K}}_{ {D}} \Delta \omega_{ {r}} } \right) $
$\small { {K}}_{ {S}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} cos \delta }{{{X}}_{{T}}} $
Linearização da segunda equação swing:
$\small p \left( { \Delta \delta } \right) = \omega_{ {0}} \Delta \omega_{ {r}} $
Em representação matricial:
$\small \frac{d}{dt} \left[ {\begin{array}{*{20}c} \Delta \omega_{ {r}} \\ \Delta \delta \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} - \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {H}}} & - \frac{{ {K}}_{ {S}}}{2 { {H}}} \\ \omega_{ {0}} & 0 \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Delta \omega_{ {r}} } \\ {\Delta \delta } \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} { \frac{1}{2 { {H}}} } \\ { 0 } \\ \end{array}} \right] \Delta { {T}}_{ {m}} $
Estudos de Estabilidade - Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
$\small \frac{d}{dt} \left[ {\begin{array}{*{20}c} \Delta \omega_{ {r}} \\ \Delta \delta \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} - \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {H}}} & - \frac{{ {K}}_{ {S}}}{2 { {H}}} \\ \omega_{ {0}} & 0 \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Delta \omega_{ {r}} } \\ {\Delta \delta } \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} { \frac{1}{2 { {H}}} } \\ { 0 } \\ \end{array}} \right] \Delta { {T}}_{ {m}} $
Aplicando transformada de Laplace:
$\small \left[ {\begin{array}{*{20}c} \Delta \omega_{ {r}} \\ \Delta \delta \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} - \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {Hs}}} & - \frac{{ {K}}_{ {S}}}{2 { {Hs}}} \\ \frac{\omega_{ {0}}}{{ {s}}} & 0 \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Delta \omega_{ {r}} } \\ {\Delta \delta } \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} { \frac{1}{2 { {Hs}}} } \\ { 0 } \\ \end{array}} \right] \Delta { {T}}_{ {m}} $
Em diagrama de blocos:
Estudos de Estabilidade - Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
$\small \left[ {\begin{array}{*{20}c} \Delta \omega_{ {r}} \\ \Delta \delta \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} - \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {Hs}}} & - \frac{{ {K}}_{ {S}}}{2 { {Hs}}} \\ \frac{\omega_{ {0}}}{{ {s}}} & 0 \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Delta \omega_{ {r}} } \\ {\Delta \delta } \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} { \frac{1}{2 { {Hs}}} } \\ { 0 } \\ \end{array}} \right] \Delta { {T}}_{ {m}} $
ou:
$\small {{ {s}}} \left[ {\begin{array}{*{20}c} \Delta \omega_{ {r}} \\ \Delta \delta \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} - \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {H}}} & - \frac{{ {K}}_{ {S}}}{2 { {H}}} \\ \omega_{ {0}} & 0 \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Delta \omega_{ {r}} } \\ {\Delta \delta } \\ \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} { \frac{1}{2 { {H}}} } \\ { 0 } \\ \end{array}} \right] \Delta { {T}}_{ {m}} $
Em forma compacta:
$\small {{ {s~}}} \Delta \overline{{ {X}}} = { {A~}} \Delta \overline{{ {X}}} + { {B~}} \Delta \overline{{ {U}}} $
$\small \Delta \overline{{ {X}}} = \left( { { {s~I}} - { {A~}} } \right)^{-1} { {B~}} \Delta \overline{{ {U}}} $
$\small \Delta \overline{{ {X}}} = \frac{ {{adj}} \left( { { {s~I}} - { {A~}} } \right)}{ {{det}} \left( { { {s~I}} - { {A~}} } \right)} { {~B~}} \Delta \overline{{ {U}}} $
Estudos de Estabilidade - Estabilidade Angular de Pequenas Perturbações
Equação característica de $\small A$:
$\small {{det}} \left( { { {s~I}} - { {A~}} } \right) = 0 $
Em que $\small A$ é:
$\small { {A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} - \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {H}}} & - \frac{{ {K}}_{ {S}}}{2 { {H}}} \\ \omega_{ {0}} & 0 \\ \end{array}} \right] $
A equação característica de $\small A$ é então:
$\small \lambda ^2 + \frac{{ {K}}_{ {D}}}{2 { {H}}} \lambda + \frac{{ {K}}_{ {S}} \omega_{ {0}} }{2 { {H}}} = 0 $
Estudos de Estabilidade - Equações de Movimento (Swing) da Máquina Sı́ncrona
Análise dos autovalores $\small \lambda$:
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