Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica

Unidade 8

Estudos de Estabilidade

8.2. Equações da Máquina Sı́ncrona

Estudos de Estabilidade - Equações da Máquina Sı́ncrona

Na figura, mostra-se um rotor girante com um campo magnético senoidalmente distribuído no centro de uma bobina estacionária.

Estudos de Estabilidade - Equações da Máquina Sı́ncrona

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$\small e_{ind} = (\overline{v} \times \overline{B}) \cdot \overline{l} $

$\small \overline{v}$: velocidade do fio em relação ao campo magnético.

$\small \overline{B}$: vetor de densidade de fluxo magnético.

$\small \overline{l}$: comprimento do condutor dentro do campo magnético.

Para determinar a tensão senoidal total na espira, examinaremos separadamente cada segmento da espira e somaremos todas as tensões resultantes.

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A tensão total induzida $\small e_{ind}$ na espira é a soma das tensões de cada um de seus segmentos:

$\small e_{ind} = e_{ba} + e_{cb} + e_{dc} + e_{ad} = - v B_{M} l cos ( \omega_m t - 180^{\circ}) + v B_{M} l cos \omega_m t $

Observe que $\small cos \theta = - cos (\theta - 180^{\circ})$. Portanto, a tensão induzida é:

$\small e_{ind} = v B_{M} l cos \omega_m t + v B_{M} l cos \omega_m t $

$\small { e_{ind} = 2 v B_{M} l cos \omega_m t }$

Como a velocidade nos lados da bobina paralelos ao eixo do rotor é dada por $\small v = r \omega_m$, a equação anterior pode ser escrita também como:

$\small { e_{ind} = 2 r l B_{M} \omega_m cos \omega_m t }$

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$\small { e_{ind} = 2 r l B_{M} \omega_m cos \omega_m t }$

O fluxo que atravessa a bobina pode ser expresso como $\small \phi = 2rlB_M$, ao passo que $\omega_m = \omega_e = \omega$ para um estator de dois polos. Assim, a tensão induzida pode ser expressa como:

$\small { e_{ind} = \phi \omega cos \omega t }$

A equação anterior descreve a tensão induzida em uma bobina de uma única espira. Se a bobina do estator tiver $\small N_C$ espiras de fio, então a tensão total induzida na bobina será:

$\small { e_{ind} = N_C \phi \omega cos \omega t }$

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$\small { e_{ind} = N_C \phi \omega cos \omega t }$

Observe que a tensão produzida no estator dessa máquina é senoidal, com uma amplitude que depende do fluxo $\small \phi$ da máquina, da velocidade angular $\small \omega$ do rotor e de uma constante associada à construção da máquina ($\small N_C$).

Se três bobinas, cada uma com $\small N_C$ espiras, forem dispostas ao redor do campo magnético do rotor, as tensões induzidas em cada uma delas será a mesma, mas estarão defasadas de $\small 120^{\circ}$ entre si.

$\small { e_{aa'} (t) = N_C \phi \omega sen \omega t }$

$\small { e_{bb'} (t) = N_C \phi \omega sen ( \omega t -120^{\circ}) }$

$\small { e_{cc'} (t) = N_C \phi \omega sen ( \omega t -240^{\circ}) }$

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$\small { e_{aa'} (t) = N_C \phi \omega sen \omega t }$

$\small { e_{bb'} (t) = N_C \phi \omega sen ( \omega t -120^{\circ}) }$

$\small { e_{cc'} (t) = N_C \phi \omega sen ( \omega t -240^{\circ}) }$

A tensão de pico em qualquer uma das fases de um estator trifásico desse tipo é:

$\small E_{Max} = N_C \phi \omega $

Como $\small \omega = 2 \pi f$, essa equação também pode ser escrita como:

$\small E_{Max} = 2 \pi N_C \phi f $

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$\small E_{Max} = 2 \pi N_C \phi f $

Portanto, a tensão eficaz (RMS) de qualquer uma das fases desse estator trifásico é:

$\small E_{A} = \frac{2 \pi}{\sqrt{2}} N_C \phi f $

$\small \boxed{ E_{A} = \sqrt{2} \pi N_C \phi f} $

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$\small \boxed{ E_{A} = \sqrt{2} \pi N_C \phi f} $

Para resolver problemas de máquinas síncronas, a equação anterior algumas vezes é escrita de forma mais simples, destacando as grandezas que variam durante o funcionamento da máquina. Essa forma mais simples é:

$\small { E_{A} = K \phi f} $

em que $\small K$ é uma constante que representa os aspectos construtivos da máquina.

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$\small \boxed{ E_{A} = \sqrt{2} \pi N_C \phi f} $

A tensão $\small E_A$ é a tensão gerada interna que é produzida em uma fase do gerador síncrono. Entretanto, essa tensão $\small E_A$ não é usualmente a tensão que aparece nos terminais do gerador.

De fato, o único momento em que a tensão interna $\small E_A$ é igual à tensão de saída $\small V_{\phi}$ de uma fase é quando não há corrente de armadura circulando na máquina.

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Por que a tensão de saída $\small V_{\phi}$ de uma fase não é igual a $\small E_A$ e qual é a relação entre essas duas tensões?

A resposta a essas questões permite construir o modelo de circuito equivalente de um gerador síncrono.

Há uma série de fatores que são responsáveis pela diferença entre $\small E_A$ e $\small V_{\phi}$:

1. A distorção do campo magnético do entreferro pela corrente que flui no estator, denominada reação de armadura.

2. A autoindutância das bobinas da armadura.

3. A resistência das bobinas da armadura.

4. O efeito do formato dos polos salientes do rotor.

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Para obter o circuito equivalente do gerador síncrono, serão explorados os efeitos dos três primeiros fatores (distorção do campo magnético do entreferro, autoindutância e resistência das bobinas da armadura).

Neste caso, os efeitos do formato de polo saliente sobre o funcionamento de uma máquina síncrona serão ignorados. Em outras palavras, será assumido que todas as máquinas têm rotores cilíndricos ou não salientes.

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O primeiro efeito mencionado, normalmente o maior, é a reação de armadura. Quando o rotor de um gerador síncrono é girado, uma tensão $\small E_A$ é induzida nos enrolamentos do estator do gerador. Se uma carga for aplicada aos terminais do gerador, uma corrente circulará.

Contudo, uma corrente trifásica circulando no estator produzirá, por si própria, um campo magnético na máquina. Esse campo magnético de estator distorce o campo magnético original do rotor, alterando a tensão de fase resultante. Esse efeito é denominado reação de armadura porque a corrente de armadura (estator) afeta o campo magnético que o produziu em primeiro lugar.

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Se $\small X$ for uma constante de proporcionalidade, então a tensão de reação de armadura poderá ser expressa como:

$\small E_{est} = -j X I_{A} $

A tensão em uma fase será, portanto:

$\small V_{\phi} = E_{A} -j X I_{A} $

O circuito correspondente à anterior equação, usando a lei das tensões de Kirchhoff, é:

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Além dos efeitos da reação de armadura, as bobinas do estator têm uma autoindutância e uma resistência. Se a autoindutância do estator for denominada $\small L_A$ (com sua respectiva reatância denominada $\small X_A$) e a resistência do estator for denominada $\small R_A$, a diferença total entre $\small E_A$ e $\small V_{\phi}$ será dada por:

$\small V_{\phi} = E_{A} -j X I_{A} - j X_A I_{A} - R_A I_{A} $

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$\small V_{\phi} = E_{A} -j X I_{A} - j X_A I_{A} - R_A I_{A} $

A autoindutância e os efeitos de reação de armadura da máquina são ambos representados por reatâncias, sendo costume combiná-las em uma única reatância, denominada reatância síncrona da máquina:

$\small X_{S} = X + X_A $

Portanto, a equação final que descreve $\small V_{\phi}$ é:

$\small \boxed{ V_{\phi} = E_{A} -j X_S I_{A} - R_A I_{A} }$

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

Considere-se o seguinte gerador ligado a uma linha que, por sua vez, está conectada à rede externa:

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ou:

$\small {Z}_{{Eq}} = {{R}}_{{E}} + j{{X}}_{{E}} $

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$\small {Z}_{{Eq}} = {{R}}_{{E}} + j{{X}}_{{E}} $

Considere-se o circuito equivalente do gerador síncrono a seguir:

Estudos de Estabilidade - Sistema Máquina Barramento Infinito

Tem-se que:

$\small {I}_{{t}} = \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \angle{-\delta}}{j{{X}}_{{T}}} = \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}} $

$\small {{X}}_{{T}} = {{X'}}_{{d}} + {{X}}_{{E}} $

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$\small {I}_{{t}} = \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}} $

$\small {S'}_{{t}} = {E'} {I}^{*}_{{t}} $

$\small {S'}_{{t}} = {E'} \left( \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}} \right)^{*} $

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$\small {S'}_{{t}} = {E'} \left( \frac{{{E'}} - {{E}}_{{B}} \left( { cos \left(-\delta \right) - j sen \left( -\delta \right) } \right) }{j{{X}}_{{T}}} \right)^{*} $

$\small {S'}_{{t}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} sen \delta }{{{X}}_{{T}}} + j \frac{ {{E'}} \left( {{E'}} - {{E}}_{{B}} cos \delta \right) }{{{X}}_{{T}}} $

$\small { {P}} = {\rm{ Re}} \left\{ { {S'}_{{t}} } \right\} $

$\small {\rm {P}} = \frac{{{E'}} {{E}}_{{B}} sen \delta }{{{X}}_{{T}}} $

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