Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica

Unidade 6

Modelo Impedância de Barra

Montagem e Modificações da Matriz Impedância de Barra

Comparações Entre as Matrizes Admitância e Impedância de Barra

Características da Matriz $\small {Y_{\rm{Barra}}}$:

• Simétrica.

• Complexa.

• Quadrada de dimensão $\small n$, sendo $\small n$ é o número de barras do sistema sem contar a barra de referência.

• Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem.

• Os elementos da diagonal principal são positivos.

Comparações Entre as Matrizes Admitância e Impedância de Barra

Características da Matriz $\small {Y_{\rm{Barra}}}$:

• Os elementos fora da diagonal principal são negativos.

• Os elementos da diagonal principal $\small Y_{kk}$ são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à barra $\small k$.

• Os elementos fora da diagonal principal $\small Y_{kj}$ são o simétrico da soma das admitâncias que ligam as barras $\small k$ e $\small j$.

Comparações Entre as Matrizes Admitância e Impedância de Barra

Características da Matriz $\small {Z_{\rm{Barra}}}$:

• Simétrica.

• Complexa.

• Quadrada de dimensão $\small n$, sendo $\small n$ o número de barras do sistema desconsiderando a barra de referência.

• Matriz cheia.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra

A matriz impedância de barra pode ser modificada para refletir mudanças na rede elétrica. Estas mudanças podem ser a adição de um elemento, retirada de um elemento ou modificação no valor da impedância de um elemento:

Até o momento, as maneiras de se calcular a matriz impedância de barra são:

• Montagem direta.

• Inversão da matriz admitância de barra.

• Ensaio de circuito aberto.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Seja o sistema original da figura anterior, composto de $\small n$ barras, cuja matriz impedância de barra é conhecida como $\small Z_{\rm {ORIGINAL}}$.

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & \cdots & Z_{1n} \\ Z_{21} & Z_{22} & \cdots & Z_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{n1} & Z_{n2} & \cdots & Z_{nn} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & \cdots & Z_{1n} \\ Z_{21} & Z_{22} & \cdots & Z_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{n1} & Z_{n2} & \cdots & Z_{nn} \end{array}} \right]$

A inclusão de um novo elemento com impedância própria $\small z_b$ atende a uma dos quatro casos a seguir.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Caso 1: O elemento é ligado entre a barra nova $\small p$ e a referência.

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria $\small z_b$ ligado entre uma barra nova $\small p$ e a referência.

Seja o sistema original composto de duas barras. Na figura a seguir, mostra-se este sistema acrescido de uma nova barra denominada $\small p$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

A matriz $\small Z_{\rm {ORIGINAL}}$ do sistema da figura acima é:

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Realizando um ensaio no qual se injeta uma corrente unitária na barra 1, tem-se que a tensão na barra $\small p = 3$, devido a esta corrente, é nula; o mesmo aconteceria se fosse injetada uma corrente unitária na barra 2. Por outro lado, quando a corrente unitária é injetada na barra $\small p = 3$, aparece uma tensão na barra $\small p = 3$ com valor igual a $\small z_b.$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Assim, a matriz $\small Z_{\rm {BARRA}}$ é igual a:

$\small {Z_{\rm{BARRA}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & 0 \\ Z_{21} & Z_{22} & 0 \\ 0 & 0 & z_b \\ \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{BARRA}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & 0 \\ Z_{21} & Z_{22} & 0 \\ 0 & 0 & z_b \\ \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Caso 2: O elemento é ligado entre a barra nova $\small p$ e a barra existente $\small k.$

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria $\small z_b$ ligado entre uma barra nova $\small p$ e uma barra existente $\small k$.

Seja o sistema original composto de duas barras. Na figura a seguir, mostra-se este sistema acrescido de uma nova barra denominada $\small p$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

A matriz $\small Z_{\rm {ORIGINAL}}$ do sistema da figura acima é:

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Injetando-se uma corrente unitária na barra 1, a tensão na barra $\small p = 3$ é a mesma que a tensão da barra $\small k = 2$. Injetando-se uma corrente unitária na barra $\small k = 2$, a tensão na barra $\small p = 3$ também é a mesma que a tensão da barra $\small k = 2$. Injetando-se uma corrente unitária na barra $\small p = 3$, a tensão será a impedância vista da barra $\small k = 2$ adicionada de $\small z_b$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Assim, a matriz $\small Z_{\rm {BARRA}}$ é igual a:

$\small {Z_{\rm{BARRA}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{22} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{22} + z_b \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small {Z_{\rm{BARRA}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{22} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{22} + z_b \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Caso 3: O elemento é ligado entre a barra existente $\small k$ e a referência.

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria $\small z_b$ ligado entre uma barra existente $\small k$ e a referência.

Seja o sistema original composto de duas barras. Na figura a seguir, mostra-se este sistema acrescido de uma nova impedância $\small z_b$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

A matriz $\small Z_{\rm {ORIGINAL}}$ do sistema da figura acima é:

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Este caso é abordado em duas etapas, mostradas na figura a seguir:

• Etapa 1: O elemento novo é incluído entre uma barra $\small k$ existente e uma nova barra fictícia $\small n + 1$.

• Etapa 2: Curto circuita-se a barra fictícia para a referência pela redução de Kron.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Etapa 1: O elemento novo é incluído entre a barra $\small k = 2$ existente e uma nova barra fictícia $\small n + 1 = 3$.

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{22} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{22} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Etapa 2: curto circuita-se a barra fictícia $\small n + 1 = 3$ para a referência e se procede à eliminação de Kron para eliminar a barra $\small n + 1 = 3$. A eliminação de Kron foi deduzida para a matriz admitância de barra e $\small I_B = 0$. O mesmo se aplica à matriz impedância de barra e $\small V_B = 0$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Caso 4: O elemento é ligado entre a barras existentes $\small k$ e $\small j$.

Modificação da matriz impedância de barra pela inclusão de um elemento que possui impedância própria $\small z_b$ ligado entre a barras existentes $\small k$ e $\small j$.

Seja o sistema original composto de duas barras. Na figura a seguir, mostra-se este sistema acrescido de uma nova impedância $\small z_b$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

A matriz $\small Z_{\rm {ORIGINAL}}$ do sistema da figura acima é:

$\small {Z_{\rm{ORIGINAL}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Este caso é abordado em duas etapas, mostradas na figura a seguir:

• Etapa 1: Inclusão do elemento entre barra existente $\small k$ existente e uma nova barra fictícia $\small n + 1$.

• Etapa 2: Curto circuitam-se a barra fictícia e a barra $\small j$.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Etapa 1: Inclusão do elemento entre barra existente $\small k = 1$ existente e uma nova barra fictícia $\small n + 1 = 3$.

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} \\ Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} \\ Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Etapa 2: Curto circuitam-se a barra fictícia $\small n + 1 = 3$ e a barra $\small j = 2$. as tensões $\small V_{j = 2}$ e $\small V_{n + 1 = 3}$ são iguais. Logo, fazendo-se a linha $\small (n + 1) = 3$ menos a linha $\small j = 2$ e colocando o resultado na linha $\small (n + 1) = 3$, vem:

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} \\ Z_{11} - Z_{21} & Z_{12} - Z_{22} & Z_{11} - Z_{21} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} \\ Z_{11} - Z_{21} & Z_{12} - Z_{22} & Z_{11} - Z_{21} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Para tornar a matriz acima simétrica, efetua-se a coluna $\small (n + 1) = 3$ menos a coluna $\small j = 2$ no lugar da coluna $\small (n + 1) = 3$. Assim:

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} - Z_{21} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} - Z_{22} \\ Z_{11} - Z_{21} & Z_{12} - Z_{22} & Z_{11} + Z_{22} - Z_{12} - Z_{21} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} \\ Z_{11} - Z_{21} & Z_{12} - Z_{22} & Z_{11} - Z_{21} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Expandindo-se as três linhas do sistema anterior, tem-se que:

$\small V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 + Z_{11} I_3 $

$\small V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2 + Z_{21} I_3 $

$\small 0 = (Z_{11} - Z_{21}) I_1 + (Z_{12} - Z_{22}) I_2 + (Z_{11} - Z_{21} + z_b) I_3 $

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} - Z_{21} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} - Z_{22} \\ Z_{11} - Z_{21} & Z_{12} - Z_{22} & Z_{11} + Z_{22} - Z_{12} - Z_{21} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Realizando o mesmo procedimento de expanssão no sistema anterior, tem-se que:

$\small V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 + Z_{11} I_3 - Z_{21} I_3 $

$\small V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2 + Z_{21} I_3 - Z_{22} I_3 $

$\small 0 = (Z_{11} - Z_{21}) I_1 + (Z_{12} - Z_{22}) I_2 + (Z_{11} + Z_{22} - Z_{12} - Z_{21} + z_b) I_3 $

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

$\scriptsize V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 + Z_{11} I_3 \\ \scriptsize V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2 + Z_{21} I_3 \\ \scriptsize 0 = (Z_{11} - Z_{21}) I_1 + (Z_{12} - Z_{22}) I_2 + (Z_{11} - Z_{21} + z_b) I_3 \\ \ \\ \scriptsize V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 + Z_{11} I_3 - Z_{21} I_3 \\ \scriptsize V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2 + Z_{21} I_3 - Z_{22} I_3 \\ \scriptsize 0 = (Z_{11} - Z_{21}) I_1 + (Z_{12} - Z_{22}) I_2 + (Z_{11} + Z_{22} - Z_{12} - Z_{21} + z_b) I_3 $

Para que o primeiro bloco de equações fique igual, respectivamente, ao segundo bloco de equações, basta somar $\small Z_{21} I_3$ na primeira equação do segundo bloco, $\small Z_{22} I_3$ na segunda equação do segundo bloco e $\small (Z_{12} - Z_{22}) I_3$ na terceira equação do segundo bloco, ou seja, basta substituir $\small I_2$ por $\small I_2 + I_3$ no primeiro bloco de equações.

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

A barra $\small (n + 1) = 3$ é fictícia, sem fonte de corrente; logo, pode-se aplicar a redução de Kron. O sistema de equações fica então:

$\scriptsize \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} V_{1} \\ V_{2} \\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} Z_{11} & Z_{12} & Z_{11} - Z_{21} \\ Z_{21} & Z_{22} & Z_{21} - Z_{22} \\ Z_{11} - Z_{21} & Z_{12} - Z_{22} & Z_{11} + Z_{22} - Z_{12} - Z_{21} + z_b \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} I_{1} \\ I_{2} + I_{2} \\ I_{3} \end{array}} \right]$

Montagem e Modificação da Matriz Impedância de Barra - Montagem direta

Observações:

• É um processo mais rápido que montar a matriz admitância de barra e depois inverter.

• Trabalha-se diretamente com a lista dos componentes da rede.

• A matriz impedância de barra é montada passo a passo, incluindo-se um componente de cada vez, recaindo em um dos quatro casos de modificação da matriz impedância de barra vistos anteriormente.

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