Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Universidade Federal do Espírito Santo

Departamento de Engenharia Elétrica

Prof. Augusto César Rueda Medina / CT-XI, Sala 27 / augusto.rueda@ufes.br

Unidade 3

Fluxo de Potência

Equação de Perdas e sua Função no Despacho Econômico

Introdução

Um dos tipos de barras, definidos anteriormente, é o $\small PV$ (barras de tensão controlada), nos quais a potência ativa e a magnitude da tensão são especificadas. Para este tipo de barras, a solução do fluxo de potência fornece o ângulo da tensão e a potência reativa.

Em um sistema de potência da vida real, os geradores não estão alocados à mesma distância dos centros de consumo (cargas) e seus custos de operação são diferentes.

Além disso, deve se considerar que, em condições normais de operação, a capacidade de geração do sistema é maior do que sua demanda total. Assim, existem muitas opções para programar a geração de energia do sistema.

Introdução

No problema de despacho ótimo da geração em um sistema interconectado, o objetivo é determinar a programação de geração de potência ativa e reativa para cada usina geradora, de tal forma que os custos totais de geração sejam minimizados. Este problema também é chamado de fluxo de potência ótimo.

O fluxo de potência ótimo permite a minimização de funções objetivo selecionadas enquanto é mantido um desempenho do sistema aceitável em termos de limites de capabilidade de geração.

As funções objetivo podem ser, por exemplo, custos de geração, segurança do sistema e perdas técnicas do sistema.

Otimização de Funções Não-lineares - Formulação Geral

A otimização de funções não-lineares é uma importante ferramenta em análise de sistema de energia elétrica e é parte de um tipo de otimização chamado Programação Não-linear (PNL), o qual é amplamente discutido em muitas referências bibliográficas.

O objetivo básico é a minimização/maximização de algum objetivo não-linear sujeito a um conjunto de restrições não-lineares que podem ser de igualdade ou desigualdade. As partes principais de um modelo de PNL são:

$\scriptsize \textrm{Min}/\textrm{Max} \ f \left({ X }\right) \\ \scriptsize \textrm{Sujeito} \ \textrm{a:} \\ \scriptsize h_i \left({ X }\right) = 0; \ \ \forall i = 1, 2, \dots, m \\ \scriptsize g_j \left({ X }\right) \leq 0; \ \ \forall j = 1, 2, \dots, p \\ \scriptsize X \in \Omega $

Otimização de Funções Não-lineares - Formulação Geral

sendo:

$\small X$: Variáveis de decisão. Grandezas sobre as quais se exerce controle visando atingir o objetivo especificado. Exemplo: Potência ativa e magnitude da tensão nas barras tipo $\small PV$.

Otimização de Funções Não-lineares - Formulação Geral

sendo:

$\small f \left({ X }\right)$: Função objetivo. Direciona a escolha dos valores das variáveis de decisão no sentido de otimizar determinada grandeza. Exemplo: Minimizar os custos de geração de energia.

Otimização de Funções Não-lineares - Formulação Geral

sendo:

$\small h_i \left({ X }\right) = 0$ e $\small g_j \left({ X }\right) \leq 0$: Restrições. Restringem os valores que as variáveis de decisão podem assumir. Exemplos: Balanço de potência ativa e reativa, capacidade de geração das usinas.

Otimização de Funções Não-lineares - Formulação Geral

sendo:

Parâmetros. Valores constantes que caracterizam um modelo de otimização particular. Exemplos: Limites de geração de potência reativa, limites de fluxo de potência das linhas de transmissão.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

O problema de despacho econômico mais simples é o caso quando as perdas das linhas de transmissão são desprezadas. Isto é, no modelo do problema não são consideradas a configuração do sistema nem as impedâncias das linhas.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

Em essência, neste modelo se assume que o sistema está formado por um único nó com todas os geradores e cargas conectados a ele, como mostrado na figura a seguir:

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

Como as perdas na transmissão são desprezadas, então a demanda total $\small P_D$ é a soma de toda a geração.

Para cada unidade geradora, é assumido como conhecida uma função de custos $\small C_i$.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

O problema consiste em determinar a geração de potência ativa para cada unidade geradora, de tal forma que a função objetivo (custo total de geração), definido como

$\small C_T = \sum\limits_{i = 1}^{ng} C_i = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \gamma_i P_i^2 + \beta_i P_i + \alpha_i }\right)$

seja mínimo, sujeito à seguinte restrição:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D$

sendo $\small C_T$ o custo total de geração; $\small C_i$ e $\small P_i$, respectivalente, o custo de geração e a potência ativa gerada pela unidade $\small i$; $\small P_D$ a demanda total; e $\small ng$ o número total de unidades geradoras.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small {\rm Min} \ C_T = \sum\limits_{i = 1}^{ng} C_i = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \gamma_i P_i^2 + \beta_i P_i + \alpha_i }\right) \\ \small {\rm {Sujeito}} \ {\rm{a:}} \\ \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D$

Uma aproximação típica para resolver o anterior problema é usando os Multiplicadores de Lagrange. Assim, a função objetivo aumentada é:

$\small \mathcal{L} = C_T + \lambda \left({ P_D - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i }\right)$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small \mathcal{L} = C_T + \lambda \left({ P_D - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i }\right)$

O mínimo desta função irrestrita pode ser definido como o ponto em que as derivadas parciais da função, em relação a cada variável, são zero:

$\small \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial P_i} = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng \\ \small \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$

A primeira condição, dada por $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial P_i} = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$, resulta em:

$\small \frac{\partial C_T}{\partial P_i} + \lambda \left({ 0 - 1 }\right) = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small \frac{\partial C_T}{\partial P_i} + \lambda \left({ 0 - 1 }\right) = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Como:

$\small C_T = C_1 + C_2 + \cdots + C_{ng}$

então:

$\small \frac{\partial C_T}{\partial P_i} = \frac{d C_i}{d P_i} = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Portanto, a condição para o despacho ótimo é:

$\small \frac{d C_i}{d P_i} = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

ou:

$\small \beta_i + 2 \gamma_i P_i = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small \mathcal{L} = C_T + \lambda \left({ P_D - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i }\right)$

A segunda condição, dada por $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial \lambda} = 0$, resulta em:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D$

A anterior equação é precisamente a restrição de igualdade.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

Retomando, da primeira condição, dada por $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial P_i} = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$:

$\small \beta_i + 2 \gamma_i P_i = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Para resolver a anterior equação, resultado da primeira condição, tem-se que:

$\small P_i = \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng $

As relações dadas pela anterior expressão são conhecidas como equações de coordenação.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small P_i = \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng $

A solução para $\small \lambda$, das equações de coordenação, pode ser obtida substituindo $\small P_i$, assim:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i} = P_D$

$\small \lambda = \frac{P_D + \sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{\beta_i}{2 \gamma_i} }{\sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{1}{2 \gamma_i}}$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small \lambda = \frac{P_D + \sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{\beta_i}{2 \gamma_i} }{\sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{1}{2 \gamma_i}}$

$\small P_i = \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng $

Usando as duas expressões anteriores, pode ser determinada o despacho de geração ótima dos geradores.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

O anterior procedimento para determinar o despacho ótimo dos geradores, desconsiderando perdas, corresponde a uma solução analítica. Porém, este problema também pode ser resolvido usando um procedimento iterativo como, por exemplo, o Método do Gradiente.

Considere a expressão de $\small P_i$ escrita da seguinte forma:

$\small f \left({ \lambda }\right) = P_D = \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i$

Assim, na iteração $\small k$, tem-se que:

$\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)} = \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)} $

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small f \left({ \lambda }\right) = P_D = \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i$

$\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)} = \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)} $

Expandindo o lado esquerdo da expressão de $\small f \left({ \lambda }\right)$ em séries de Taylor, em torno de um ponto de operação $\small \lambda$, tem-se que:

$\small f \left({ \lambda }\right) + \left({ \frac{d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right) \Delta \lambda = P_D$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small f \left({ \lambda }\right) + \left({ \frac{d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right) \Delta \lambda = P_D$

Na iteração $\small k$:

$\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)} + \left({ \frac{d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} \Delta \lambda^{(k)} = P_D$

ou:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)} + \left({ \frac{d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} \Delta \lambda^{(k)} = P_D$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)} + \left({ \frac{d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} \Delta \lambda^{(k)} = P_D$

Definindo $\small \Delta P^{(k)}$ como:

$\small \Delta P^{(k)} = P_D - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)}$

tem-se que:

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \left({ \frac{ d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \left({ \frac{ d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

Lembrando que $\small f \left({ \lambda }\right) = P_D = \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i$, tem-se que:

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ d P_i }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração

Da expressão de $\small P_i$, já definida anteriormente como:

$\small P_i = \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

tem-se que:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ d P_i }{d \lambda} }\right)^{(k)} = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ 1 }{2 \gamma_i} }\right)$

Portanto, o valor de $\small \lambda$ na nova iteração $\small k + 1$ é:

$\small \lambda^{(k + 1)} = \lambda^{(k)} + \Delta \lambda^{(k)}$

O processo iterativo é então executado até que $\Delta P^{(k)}$ seja menor que uma tolerância especificada.

Despacho Econômico Desconsiderando Perdas e Sem Limites de Geração - Exemplo 6.2.1

As funções de custos de três unidades geradoras, em $/h, são dadas por:

$\small C_1 = 500 + 5,3 P_1 + 0,004 P_1^2 \\ \small C_2 = 400 + 5,5 P_2 + 0,006 P_2^2 \\ \small C_3 = 200 + 5,8 P_3 + 0,009 P_3^2$

com $\small P_1$, $\small P_2$ e $\small P_3$ em MW. A demanda total, $\small P_D$, é 800 MW. Desprezando as perdas e os limites dos geradores, determinar o despacho ótimo e os custos totiais, em $/h.

(a) Método analítico.

Da expressão de $\small \lambda$ de finida anteriormente como:

$\small \lambda = \frac{P_D + \sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{\beta_i}{2 \gamma_i} }{\sum\limits_{i = 1}^{ng} \frac{1}{2 \gamma_i}}$

tem-se que:

$\small \lambda = \frac{800 + \frac{5,3}{0,008} + \frac{5,5}{0,012} + \frac{5,8}{0,018}}{ \frac{1}{0,008} + \frac{1}{0,012} + \frac{1}{0,018} } = 8,5 $ $/MWh

Substituindo $\small \lambda$ na expressão de $\small P_i$:

$\small P_i = \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng $

tem-se que:

$\small P_1 = \frac{8,5 - 5,3}{0,008} = 400,00 \ {\rm{MW}} \\ \small P_2 = \frac{8,5 - 5,5}{0,012} = 250,00 \ {\rm{MW}} \\ \small P_3 = \frac{8,5 - 5,8}{0,018} = 150,00 \ {\rm{MW}}$

(b) Método iterativo usando o Método do Gradiente. Para resolver este problema através deste método, assumir um valor inicial de $\small \lambda$ igual a 6,0 ($\small \lambda^{(0)} = 6,0$).

Das equações de coordenação:

$\small P_i = \frac{\lambda - \beta_i}{2 \gamma_i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng $

tem-se que:

$\small P_1^{(0)} = \frac{6,0 - 5,3}{0,008} = 87,50 \ {\rm{MW}} \\ \small P_2^{(0)} = \frac{6,0 - 5,5}{0,012} = 41,67 \ {\rm{MW}} \\ \small P_3^{(0)} = \frac{6,0 - 5,8}{0,018} = 11,11 \ {\rm{MW}}$

Como $\small P_D = 800$ MW, então o erro, $\small \Delta P^{(0)}$, de:

$\small \Delta P^{(k)} = P_D - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)}$

é:

$\small \Delta P^{(0)} = 800 -(87,5 + 41,67 + 11,11) = 659,75$

Atualizando $\small \lambda^{(0)}$, de:

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ 1 }{2 \gamma_i} }\right)^{(k)} }$

tem-se que:

$\small \Delta \lambda^{(0)} = \frac{659,72}{\frac{1}{0,008} + \frac{1}{0,012} + \frac{1}{0,018}} = 2,5 $

Portanto, o novo valor de $\small \lambda$ é:

$\small \lambda^{(1)} = 6,0 + 2,5 = 8,5$

Continuando com o processo iterativo, calculando $P_i$ para cada gerador, tem-se que:

$\small P_1^{(1)} = \frac{8,5 - 5,3}{0,008} = 400,00 \ {\rm{MW}} \\ \small P_2^{(1)} = \frac{8,5 - 5,5}{0,012} = 250,00 \ {\rm{MW}} \\ \small P_3^{(1)} = \frac{8,5 - 5,8}{0,018} = 150,00 \ {\rm{MW}}$

$\small \Delta P^{(1)} = 800 -(400,00 + 250,00 + 150,00) = 0,00$

Como $\small \Delta P^{(1)} = 0$, então a restrição de igualdade é satisfeita e o processo iterativo converge.

Asim, o despacho ótimo é:

$\small P_1 = 400,00 \ {\rm{MW}} \\ \small P_2 = 250,00 \ {\rm{MW}} \\ \small P_3 = 150,00 \ {\rm{MW}}$

E os custos totais são:

$\small C_T = 500 + 5,3 (400) + 0,004(400)^2 + 400 + 5,5 (250) \\ \small \ \ \ \ \ + 0,006(250)^2 + 200 + 5,8 (150) + 0,009(150)^2 = 6682,5 \ \ {\rm{$/h}} $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

A saída de potência de cada gerador não deve exceder sua capacidade nominal nem ser menor que a necessária para alimentar seus equipamentos básicos para sua correta operação.

Assim, cada gerador é restrito a operar entre seus limites mínimo e máximo.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Quando as distâncias de transmissão são muito pequenas e a densidade de carga é muito alta, as perdas da transmissão podem ser desconsideradas e o despacho ótimo da geração é alcançado com todas as unidades geradoras operando com um custo de produção incremental ($\small \lambda$) igual.

Porém, em uma grande rede interconectada, onde a potência é transmitida através de longas distâncias, com áreas de baixa densidade de carga, as perdas da transmissão são um fator a ser considerado que impacta o despacho ótimo da geração.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Uma prática comum para incluir o efeito das perdas da transmissão é expressar as perdas de transmissão totais como uma função quadrática da saída dos geradores. A forma quadrática mais simples é:

$\small P_L = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \sum\limits_{j = 1}^{ng} P_i B_{ij} P_j$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

$\small P_L = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \sum\limits_{j = 1}^{ng} P_i B_{ij} P_j$

Uma expressão mais geral contendo um termo linear e uma constante, conhecida como equação de perdas de Kron, é:

$\small P_L = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \sum\limits_{j = 1}^{ng} P_i B_{ij} P_j + \sum\limits_{i = 1}^{ng} B_{0i} P_i + B_{00}$

Os coeficientes $\small B_{ij}$ são chamados de coeficientes de perdas ou coeficientes $\small B$.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

O problema consiste então em determinar a geração de potência ativa para cada unidade de tal forma que a função objetivo (custo total de geração, $\small C_T$) seja mínima, sujeito ao conjunto de restrições, mostrado a seguir:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D + P_L$

$\small P_i^{Min} \leq P_i \leq P_i^{Max}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Assim, este problema é formulado como:

$\small {\rm Min} \ C_T = \sum\limits_{i = 1}^{ng} C_i = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \gamma P_i^2 + \beta P_i + \alpha }\right) \\ \small {\rm {Sujeito}} \ {\rm{a:}} \\ \small \ \ \ \ \ \ \ \ \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D + P_L\\ \small \ \ \ \ \ \ \ \ P_i^{Min} \leq P_i \leq P_i^{Max}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Usando os Multiplicadores de Lagrange, adicionando os elementos necessários para incluir as restrições de desigualdade, obtém-se:

$\scriptsize \mathcal{L} = C_T + \lambda \left({ P_D + P_L - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i }\right) + \sum\limits_{i = 1}^{ng} \mu_i^{Max} \left({ P_i - P_i^{Max}}\right) + \sum\limits_{i = 1}^{ng} \mu_i^{Min} \left({ P_i - P_i^{Min}}\right)$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

O mínimo desta função irrestrita pode ser definido como o ponto em que as derivadas parciais da função, em relação a cada variável, são zero:

$\small \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial P_i} = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng \\ \small \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \\ \small \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu_i^{Max}} = P_i -P_i^{Max} = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng \\ \small \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu_i^{Min}} = P_i -P_i^{Min} = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

A terceira e quarta condições, dadas por $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial \mu_i^{Max}} = 0$ e $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial \mu_i^{Min}} = 0$ ($\small \forall i = 1, 2, ..., ng$), respectivamente, indicam que não é permitido que $\small P_i$ ultrapasse seus limites, ou seja que, quando $\small P_i$ está entre seus limites, então $\small \mu_i^{Min} = \mu_i^{Max} = 0$.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

A segunda condição, dada por $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial \lambda} = 0$, resulta em:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D + P_L$

A anterior equação é precisamente a restrição de igualdade.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Lembrando que, nas restrições, deve se entender que $\small \mu_i^{Max} = 0$ quando $\small P_i \le P_i^{Max}$ e que $\small \mu_i^{Min} = 0$ quando $\small P_i \ge P_i^{Min}$; em outras palavras, se a restrição não é violada, sua variável associada $\small \mu$ é zero e o correspondente termo na função Lagrangeana $\small \mathcal{L}$ não existe.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Assim, primeira condição, dada por $\small {\partial \mathcal{L}}/{\partial P_i} = 0$ ($\small \forall i = 1, 2, ..., ng$) é:

$\small \frac{\partial C_T}{\partial P_i} + \lambda \left({ 0 + \frac{\partial P_L}{\partial P_i} - 1 }\right) + 0 + 0 = 0; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Como:

$\small C_T = C_1 + C_2 + \cdots + C_{ng}$

então:

$\small \frac{d C_i}{d P_i} + \lambda \frac{\partial P_L}{\partial P_i} = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

O termo $\small {\partial P_L}/{\partial P_i}$ é conhecido como perda de transmissão incremental.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

$\small \frac{d C_i}{d P_i} + \lambda \frac{\partial P_L}{\partial P_i} = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Classicamente, a anterior equação é rearranjada como:

$\small L_i \frac{d C_i}{\partial P_i} = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

sendo que $\small L_i$, conhecido como fator de penalidade, é dado por:

$\small L_i = \frac{ 1 }{ 1 - \frac{\partial P_L}{\partial P_i} } ; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Assim, o efeito das perdas da transmissão está na introdução de um fator de penalidade ($\small L_i$) com um valor que depende da localização da unidade geradora $\small i$.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Da expressão geral de perdas (equação de perdas de Kron):

$\small P_L = \sum\limits_{i = 1}^{ng} \sum\limits_{j = 1}^{ng} P_i B_{ij} P_j + \sum\limits_{i = 1}^{ng} B_{0i} P_i + B_{00}$

as perdas de transmissão incrementais são:

$\small \frac{\partial P_L}{\partial P_i} = 2 \sum\limits_{j = 1}^{ng} B_{ij} P_j + B_{0i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

$\small \frac{\partial P_L}{\partial P_i} = 2 \sum\limits_{j = 1}^{ng} B_{ij} P_j + B_{0i}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Lembrando que $\small { \partial C_i }/{ \partial P_i } = 2 \gamma P_i + \beta_i$ ($\small \forall i = 1, 2, ..., ng$), substituindo $\small { \partial C_i }/{ \partial P_i }$ e $\small {\partial P_L}/{\partial P_i}$ em

$\small \frac{d C_i}{d P_i} + \lambda \frac{\partial P_L}{\partial P_i} = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

tem-se que:

$\small \beta_i + 2 \gamma_i P_i + 2 \lambda \sum\limits_{j = 1}^{ng} B_{ij} P_j + B_{0i} \lambda = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

$\small \beta_i + 2 \gamma_i P_i + 2 \lambda \sum\limits_{j = 1}^{ng} B_{ij} P_j + B_{0i} \lambda = \lambda; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

ou:

$\small \left({ \frac{\gamma_i}{\lambda} + B_{ii} }\right) P_i + \sum\limits_{j = 1, \ j \neq i}^{ng} B_{ij} P_j = \frac{1}{2} \left({ 1 - B_{0i} - \frac{\beta_i}{\lambda} }\right); \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Da expressão definida anteriormente, obtém-se $\small P_i$ na iteração $\small k$, assim:

$\small P_i^{(k)} = \frac{{{\lambda ^{(k)}}\left( {1 - {B_{0i}}} \right) - {\beta _i} - 2{\lambda ^{(k)}}\sum\nolimits_{i \ne j} {{B_{ij}}P_j^{(k)}} }}{{2\left( {{\gamma _i} + {\lambda ^{(k)}}{B_{ii}}} \right)}}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Substituindo a anterio expressão na restrição de igualdade

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i = P_D + P_L$

tem-se que:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} {\frac{{{\lambda ^{(k)}}\left( {1 - {B_{0i}}} \right) - {\beta _i} - 2{\lambda ^{(k)}}\sum\nolimits_{i \ne j} {{B_{ij}}P_j^{(k)}} }}{{2\left( {{\gamma _i} + {\lambda ^{(k)}}{B_{ii}}} \right)}}} = {P_D} - P_L^{(k)}$

ou:

$\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)} = {P_D} - P_L^{(k)}$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

$\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)} = {P_D} - P_L^{(k)}$

Expandindo o lado esquerdo da expressão de $\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)}$ em séries de Taylor, em torno de um ponto de operação $\small \lambda^{(k)}$, tem-se que:

$\small f \left({ \lambda }\right)^{(k)} + \left({ \frac{d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} \Delta \lambda^{(k)} = P_D + P_L^{(k)}$

ou:

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \left({ \frac{ d f \left({ \lambda }\right) }{d \lambda} }\right)^{(k)} } = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ d P_i }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

com:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{\partial P_i}{\partial \lambda} }\right)^{(k)} = \sum\limits_{i = 1}^{ng} {\frac{{{\gamma_i }\left( {1 - {B_{0i}}} \right) + B_{ii}{\beta _i} - 2{\gamma_i}\sum\nolimits_{i \ne j} {{B_{ij}}P_j^{(k)}} }}{{2\left( {{\gamma _i} + {\lambda ^{(k)}}{B_{ii}}} \right)^2}}} $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Portanto, o valor de $\small \lambda$ na nova iteração $\small k + 1$ é:

$\small \lambda^{(k + 1)} = \lambda^{(k)} + \Delta \lambda^{(k)}$

Sendo:

$\small \Delta P^{(k)} = P_D + P_L^{(k)} - \sum\limits_{i = 1}^{ng} P_i^{(k)}$

O processo iterativo é então executado até que $\Delta P^{(k)}$ seja menor que uma tolerância especificada.

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Se fosse usada uma equação de perdas aproximada

$\small P_L = \sum\limits_{i = 1}^{ng} B_{ii} P_i^2$

então, na expressão de $\small P_i$ (apresentada anteriormente)

$\small B_{0i} = 0$ e $\small B_{ij} = 0$, permitindo sua redução a

$\small P_i^{(k)} = \frac{{{\lambda ^{(k)}} - {\beta _i} }}{{2\left( {{\gamma _i} + {\lambda ^{(k)}}{B_{ii}}} \right)}}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração

Similarmente, com $\small B_{0i} = 0$ e $\small B_{ij} = 0$, a expressão

fica

$\small \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{\partial P_i}{\partial \lambda} }\right)^{(k)} = \sum\limits_{i = 1}^{ng} {\frac{{{\gamma_i } + B_{ii}{\beta _i} }}{{2\left( {{\gamma _i} + {\lambda ^{(k)}}{B_{ii}}} \right)^2}}} $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração - Exemplo 5.3.1

As funções de custos de três unidades geradoras, em $/h, são dadas por:

$\small C_1 = 200 + 7,0 P_1 + 0,008 P_1^2 \ \ \ \ {\rm{com}} \ \ 10 \ {\rm{MW}} \leq P_1 \leq 85 \ {\rm{MW}} \\ \small C_2 = 180 + 6,3 P_2 + 0,009 P_2^2 \ \ \ \ {\rm{com}} \ \ 10 \ {\rm{MW}} \leq P_2 \leq 80 \ {\rm{MW}} \\ \small C_3 = 140 + 6,8 P_3 + 0,007 P_3^2 \ \ \ \ {\rm{com}} \ \ 10 \ {\rm{MW}} \leq P_3 \leq 70 \ {\rm{MW}}$

com $\small P_1$, $\small P_2$ e $\small P_3$ em MW. A demanda total, $\small P_D$, é 150 MW. Determinar o despacho ótimo e os custos totiais, em $/h, assumindo que

$\small P_{L(pu)} = 0,0218 P_{1(pu)}^2 + 0,0228 P_{2(pu)}^2 + 0,0179 P_{3(pu)}^2 $

em que os coeficientes de $\small P_{L(pu)} $ são especificados em pu, na base 100 MVA.

Método iterativo usando o Método do Gradiente. Assumir um valor inicial de $\small \lambda$ igual a 8,0 ($\small \lambda^{(0)} = 8,0$).

Na função de custos, $\small P_i$ é expressa em pu. Portanto, as perdas de potência ativa, em MW e em termos das saídas dos geradores, é

$\small P_{L} = \left[{ 0,0218 \left({ \frac{P_{1}}{100} }\right)^2 + 0,0228 \left({ \frac{P_{2}}{100} }\right)^2 + 0,0179 \left({ \frac{P_{3}}{100} }\right)^2 }\right] \times 100 \ {\rm{MW}} \\ \small P_{L} = 0,000218 P_{1}^2 + 0,000228 P_{2}^2 + 0,000179 P_{3}^2 \ {\rm{MW}} $

Das equações de coordenação simplificadas, isto é, com $\small B_{0i} = 0$ e $\small B_{ij} = 0$

$\small P_i^{(k)} = \frac{{{\lambda ^{(k)}} - {\beta _i} }}{{2\left( {{\gamma _i} + {\lambda ^{(k)}}{B_{ii}}} \right)}}; \ \ \forall i = 1, 2, ..., ng$

tem-se que:

$\small P_1^{(0)} = \frac{8,0 - 7,0}{2 (0,008 + 8,0 \times 0,000218) } = 51,3136 \ {\rm{MW}} \\ \small P_2^{(0)} = \frac{8,0 - 6,3}{2 (0,009 + 8,0 \times 0,000228) } = 78,5292 \ {\rm{MW}} \\ \small P_3^{(0)} = \frac{8,0 - 6,8}{2 (0,007 + 8,0 \times 0,000179) } = 71,1575 \ {\rm{MW}}$

As perdas de potência ativa são:

$\scriptsize P_{L}^{(0)} = 0,000218 P_{1}^{(0)2} + 0,000228 P_{2}^{(0)2} + 0,000179 P_{3}^{(0)2} = 2,8860 \ {\rm{MW}} $

Como $\small P_D = 150$ MW, então o erro $\small \Delta P^{(0)}$ é:

$\small \Delta P^{(0)} = P_D + P_L^{(0)} - \sum\limits_{i = 1}^{3} P_i^{(0)} = -48,1139$

Da expressão

tem-se que:

$\small \sum\limits_{i = 1}^{3} \left({ \frac{\partial P_i}{\partial \lambda} }\right)^{(0)} = \frac{0,008 + 0,000218 \times 7,0}{2 (0,008 + 8,0 \times 0,000218)^2 } + \\ \small \frac{0,009 + 0,000228 \times 6,3}{2 (0,009 + 8,0 \times 0,000228)^2 } + \frac{0,007 + 0,000179 \times 6,8}{2 (0,007 + 8,0 \times 0,000179)^2 } = 152,4924 $

Da expressão

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ d P_i }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

O valor de $\small \Delta \lambda^{(0)}$ é:

$\scriptsize \Delta \lambda^{(0)} = \frac{-48,1139}{152,4924} = -0,3155$

Assim, o novo valor de $\small \lambda$, para $\small k = 1$, é:

$\scriptsize \lambda^{(1)} = \lambda^{(0)} + \Delta \lambda^{(0)} = 8,0 - 0,3155 = 7,6845$

Continuando com o processo, os novos valores de $\small P_i$ são:

$\scriptsize P_1^{(1)} = \frac{7,6845 - 7,0}{2 (0,008 + 7,6845 \times 0,000218) } = 35,3728 \ {\rm{MW}} \\ \scriptsize P_2^{(1)} = \frac{7,6845 - 6,3}{2 (0,009 + 7,6845 \times 0,000228) } = 64,3821 \ {\rm{MW}} \\ \scriptsize P_3^{(1)} = \frac{7,6845 - 6,8}{2 (0,007 + 7,6845 \times 0,000179) } = 52,8015 \ {\rm{MW}}$

As perdas de potência ativa são:

$\scriptsize P_{L}^{(1)} = 0,000218 P_{1}^{(1)2} + 0,000228 P_{2}^{(1)2} + 0,000179 P_{3}^{(1)2} = 1,717 \ {\rm{MW}} $

O erro $\small \Delta P^{(1)}$ é:

$\scriptsize \Delta P^{(1)} = P_D + P_L^{(1)} - \sum\limits_{i = 1}^{3} P_i^{(1)} = -0,8395$

Da expressão

tem-se que:

$\scriptsize \sum\limits_{i = 1}^{3} \left({ \frac{\partial P_i}{\partial \lambda} }\right)^{(1)} = \frac{0,008 + 0,000218 \times 7,0}{2 (0,008 + 7,684 \times 0,000218)^2 } + \\ \small \frac{0,009 + 0,000228 \times 6,3}{2 (0,009 + 7,684 \times 0,000228)^2 } + \frac{0,007 + 0,000179 \times 6,8}{2 (0,007 + 7,684 \times 0,000179)^2 } = 154,588 $

Da expressão

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ d P_i }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

O valor de $\small \Delta \lambda^{(1)}$ é:

$\scriptsize \Delta \lambda^{(1)} = \frac{-0,8395}{154,588} = -0,005431$

Assim, o novo valor de $\small \lambda$, para $\small k = 2$, é:

$\scriptsize \lambda^{(2)} = \lambda^{(1)} + \Delta \lambda^{(1)} = 7,6845 - 0,005431 = 7,679$

Continuando com o processo, os novos valores de $\small P_i$ são:

$\scriptsize P_1^{(2)} = \frac{7,679 - 7,0}{2 (0,008 + 7,679 \times 0,000218) } = 35,0965 \ {\rm{MW}} \\ \scriptsize P_2^{(2)} = \frac{7,679 - 6,3}{2 (0,009 + 7,679 \times 0,000228) } = 64,1369 \ {\rm{MW}} \\ \scriptsize P_3^{(2)} = \frac{7,679 - 6,8}{2 (0,007 + 7,679 \times 0,000179) } = 52,4834 \ {\rm{MW}}$

As perdas de potência ativa são:

$\scriptsize P_{L}^{(2)} = 0,000218 P_{1}^{(2)} + 0,000228 P_{2}^{(2)} + 0,000179 P_{3}^{(2)} = 1,699 \ {\rm{MW}} $

O erro $\small \Delta P^{(2)}$ é:

$\scriptsize \Delta P^{(2)} = P_D + P_L^{(2)} - \sum\limits_{i = 1}^{3} P_i^{(2)} = -0,01742$

Da expressão

tem-se que:

$\scriptsize \sum\limits_{i = 1}^{3} \left({ \frac{\partial P_i}{\partial \lambda} }\right)^{(2)} = \frac{0,008 + 0,000218 \times 7,0}{2 (0,008 + 7,679 \times 0,000218)^2 } + \\ \small \frac{0,009 + 0,000228 \times 6,3}{2 (0,009 + 7,679 \times 0,000228)^2 } + \frac{0,007 + 0,000179 \times 6,8}{2 (0,007 + 7,679 \times 0,000179)^2 } = 154,624 $

Da expressão

$\small \Delta \lambda^{(k)} = \frac{\Delta P^{(k)}}{ \sum\limits_{i = 1}^{ng} \left({ \frac{ d P_i }{d \lambda} }\right)^{(k)} }$

O valor de $\small \Delta \lambda^{(2)}$ é:

$\scriptsize \Delta \lambda^{(2)} = \frac{-0,01742}{154,624} = -0,0001127$

Assim, o novo valor de $\small \lambda$, para $\small k = 3$, é:

$\scriptsize \lambda^{(3)} = \lambda^{(2)} + \Delta \lambda^{(2)} = 7,679 - 0,0001127 = 7,6789$

Como $\small \Delta \lambda^{(2)}$ é um valor muito pequeno, então o processo pára com três iterações. Os novos valores de $\small P_i$ são:

$\scriptsize P_1^{(3)} = \frac{7,6789 - 7,0}{2 (0,008 + 7,6789 \times 0,000218) } = 35,0907 \ {\rm{MW}} \\ \scriptsize P_2^{(3)} = \frac{7,6789 - 6,3}{2 (0,009 + 7,6789 \times 0,000228) } = 64,1317 \ {\rm{MW}} \\ \scriptsize P_3^{(3)} = \frac{7,6789 - 6,8}{2 (0,007 + 7,6789 \times 0,000179) } = 52,4767 \ {\rm{MW}}$

As perdas de potência ativa são:

$\scriptsize P_{L}^{(3)} = 0,000218 P_{1}^{(3)} + 0,000228 P_{2}^{(3)} + 0,000179 P_{3}^{(3)} = 1,699 \ {\rm{MW}} $

e os custos totais de geração são:

$\scriptsize C_{T} = 200 + 7,0 (35,0907) + 0,008(35,0907)^2 + \\ \scriptsize 180 + 6,3 (64,1317) + 0,009(64,1317)^2 + \\ \scriptsize 140 + 6,8 (52,4767) + 0,007(52,4767)^2 = 1592,65 \ {\rm{$/h}} $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração - Equação de Perdas

Seja o sistema exemplo da figura a seguir:

Do circuito da figura, tem-se que:

$\small P_L = r_1 \times I_1 \times I_1^* + r_2 \times I_2 \times I_2^* + r_3 \times I_3 \times I_3^*$

$\small I_3 = I_1 + I_2 $

$\small I_3^* = I_1^* + I_2^*$

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração - Equação de Perdas

$\small P_L = r_1 \times I_1 \times I_1^* + r_2 \times I_2 \times I_2^* + r_3 \times I_3 \times I_3^*$

$\small I_3 = I_1 + I_2 $

$\small I_3^* = I_1^* + I_2^*$

Substituindo-se $\small I_3$ e $\small I_3^*$ na equação de $\small P_L$ vem:

$\small P_L = r_1 \times I_1 \times I_1^* + r_2 \times I_2 \times I_2^* + r_3 \times ( I_1 + I_2 ) \times ( I_1^* + I_2^* ) $

$\small P_L = ( r_1 + r_3 ) \times I_1^2 + ( r_2 + r_3 ) \times I_2^2 + r_3 \times ( I_1 \times I_2^* + I_2 \times I_1^* ) $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração - Equação de Perdas

$\small P_L = ( r_1 + r_3 ) \times I_1^2 + ( r_2 + r_3 ) \times I_2^2 + r_3 \times ( I_1 \times I_2^* + I_2 \times I_1^* ) $

Na expressão anterior:

$\small I_1 \times I_2^* + I_2 \times I_1^* = 2 \times I_1 \times I_2 \times {\rm{cos}} (\alpha_{12}) $

sendo $\small {\rm{cos}} (\alpha_{12})$ a diferença angular entre $\small I_1$ e $\small I_2$.

Assim:

$\small P_L = ( r_1 + r_3 ) \times I_1^2 + ( r_2 + r_3 ) \times I_2^2 + r_3 \times ( 2 \times I_1 \times I_2 \times {\rm{cos}} (\alpha_{12}) ) $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração - Equação de Perdas

$\small P_L = ( r_1 + r_3 ) \times I_1^2 + ( r_2 + r_3 ) \times I_2^2 + r_3 \times ( 2 \times I_1 \times I_2 \times {\rm{cos}} (\alpha_{12}) ) $

Sabendo-se que:

$\small P = V \times I \times {\rm{cos}} (\theta)$

tem-se que:

$\small I = \frac{P}{V \times {\rm{cos}} (\theta)}$

Substituindo-se na expressão de perdas:

$\scriptsize P_L = \frac{ ( r_1 + r_3 ) \times P_1^2}{V_1^2 \times {\rm{cos}}^2 (\theta_1)} + \frac{ ( r_2 + r_3 ) \times P_2^2}{V_2^2 \times {\rm{cos}}^2 (\theta_2)} + 2 \times r_3 \times {\rm{cos}} (\alpha_{12}) \times \frac{ P_1}{V_1 \times {\rm{cos}} (\theta_1)} \times \frac{ P_2}{V_2 \times {\rm{cos}} (\theta_2)} $

Despacho Econômico Considerando Perdas e Incluindo Limites de Geração - Equação de Perdas

ou:

$\small P_L = B_{11} \times P_1^2 + B_{22} \times P_2^2 + 2 \times B_{12} \times P_1 \times P_2 $

sendo $\small B_{11}$, $\small B_{22}$ e $\small B_{12}$ conhecidos como coeficientes de perdas ou coeficientes $\small B$.

Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Universidade Federal do Espírito Santo

Departamento de Engenharia Elétrica

Prof. Augusto César Rueda Medina / CT-XI, Sala 27 / augusto.rueda@ufes.br