Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica

Unidade 3

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

O fluxo de potência é uma ferramenta essencial e de uso intensivo na análise de sistemas de potência.

Considerando fatores como rapidez de convergência, tempo de processamento, precisão, e robustez, o algoritmo de fluxo de potência trifásico a quatro fios com modelagem matricial 4 $\small \times$ 4 (fases $\small a$, $\small b$, $\small c$ e neutro) das linhas de distribuição, baseado no método de soma de correntes com varredura backward-forward, apresenta-se como um dos metodos mais comumente utilizados para resolver este tipo de problemas.

O método de fluxo de potência trifásico a quatro fios apresentado nesta seçao e utilizado para análise de sistemas de distribuição primários e secundários.

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Representação Matricial:

No algoritmo de fluxo de potência trifásico, cada nó ou ramo na rede é numerado por um único índice, sem considerar o número de fases desse nó ou ramo. Na figura a seguir, mostra-se o ramo $\small l$ entre os nós $\small i$ e $\small j$ com cargas ligadas aos nós.

Sendo:

$\small Z_{aa}, Z_{bb}, Z_{cc}, Z_{nn}$: Impedâncias próprias da linha no ramo $\small l$.

$\small Z_{xy}$: Impedância mútua entre os condutores $\small x$ e $\small y$ da linha no ramo $\small l$ $\small \rightarrow$ $\small x=a,$ $\small b,$ $\small c,$ $\small n;$ $\small y=a,$ $\small b,$ $\small c,$ $\small n;$ $\small \forall x \neq y$.

Fluxo de Potência - Controles e Limites

Considerando a figura anterior, a matriz 4 $\small \times$ 4 pode representar a impedância série $\small Z_l$ do ramo $\small l$:

$\small Z_l = \left[ {\begin{array}{*{20}c} \small {Z_{aa} } & {Z_{ab} } & {Z_{ac} } & {Z_{an} } \\ \small {Z_{ba} } & {Z_{bb} } & {Z_{bc} } & {Z_{bn} } \\ \small {Z_{ca} } & {Z_{cb} } & {Z_{cc} } & {Z_{cn} } \\ \small {Z_{na} } & {Z_{nb} } & {Z_{nc} } & {Z_{nn} } \\ \end{array}} \right] $

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Modelagem do Sistema:

A modelagem do ramo $\small l$ de distribuição trifásica a quatro fios é mostrado na figura a seguir:

Sendo:

$\small J_{ia}, J_{ib}, J_{ic}, J_{in}$: Correntes no ramo $\small l$.

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

A rede de distribuição radial é resolvida eficientemente com a aplicação direta das leis de Kirchhoff de tensões e correntes (KVL e KCL).

A presença de barras tipo $\small PQ$ (cargas modeladas como potência constante) torna a rede não linear, fazendo com que o processo de compensação seja iterativo.

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

Para sua implementação, o método utiliza uma abordagem orientada aos ramos para melhorar o desempenho numérico.

Esta abordagem aproveita o ordenamento do sistema por camadas, como mostrado na figura:

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

Seja o nó principal a referência com a magnitude e ângulo da tensão conhecidos. O algoritmo iterativo 4 $\small \times$ 4 para resolução de sistemas radiais consiste de três passos.

Na iteraçao $\small k$:

Passo 1. Cálculo nodal da corrente para todos os nós:

$\scriptsize \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {I_{ia} } \\ \scriptsize {I_{ib} } \\ \scriptsize {I_{ic} } \\ \scriptsize {I_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {\left( {S_{ia} / V_{ia}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize {\left( {S_{ib} / V_{ib}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize {\left( {S_{ic} / V_{ic}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize { - \left( {I_{ia}^{\left( k \right)} + I_{ib}^{\left( k \right)} + I_{ic}^{\left( k \right)} } \right)} \\ \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {Y_{iaa} } & {Y_{iab} } & {Y_{iac} } & {Y_{ian} } \\ \scriptsize {Y_{iba} } & {Y_{ibb} } & {Y_{ibc} } & {Y_{ibn} } \\ \scriptsize {Y_{ica} } & {Y_{icb} } & {Y_{icc} } & {Y_{icn} } \\ \scriptsize {Y_{ina} } & {Y_{inb} } & {Y_{inc} } & {Y_{inn} } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {V_{ia} } \\ \scriptsize {V_{ib} } \\ \scriptsize {V_{ic} } \\ \scriptsize {V_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( {k - 1} \right)} $

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

$\scriptsize \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {I_{ia} } \\ \scriptsize {I_{ib} } \\ \scriptsize {I_{ic} } \\ \scriptsize {I_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {\left( {S_{ia} / V_{ia}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize {\left( {S_{ib} / V_{ib}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize {\left( {S_{ic} / V_{ic}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize { - \left( {I_{ia}^{\left( k \right)} + I_{ib}^{\left( k \right)} + I_{ic}^{\left( k \right)} } \right)} \\ \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {Y_{iaa} } & {Y_{iab} } & {Y_{iac} } & {Y_{ian} } \\ \scriptsize {Y_{iba} } & {Y_{ibb} } & {Y_{ibc} } & {Y_{ibn} } \\ \scriptsize {Y_{ica} } & {Y_{icb} } & {Y_{icc} } & {Y_{icn} } \\ \scriptsize {Y_{ina} } & {Y_{inb} } & {Y_{inc} } & {Y_{inn} } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {V_{ia} } \\ \scriptsize {V_{ib} } \\ \scriptsize {V_{ic} } \\ \scriptsize {V_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( {k - 1} \right)} $

Sendo:

$\small I_{ia}, I_{ib}, I_{ic}, I_{in}$: Injeções de correntes no nó $\small i$.

$\small S_{ia}, S_{ib}, S_{ic}$: Injeções de potência especificadas no nó $\small i$.

$\small V_{ia}, V_{ib}, V_{ic}, V_{in}$: Tensções de no nó $\small i$.

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

$\scriptsize \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {I_{ia} } \\ \scriptsize {I_{ib} } \\ \scriptsize {I_{ic} } \\ \scriptsize {I_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {\left( {S_{ia} / V_{ia}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize {\left( {S_{ib} / V_{ib}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize {\left( {S_{ic} / V_{ic}} \right)^{ * \left( {k - 1} \right)} } \\ \scriptsize { - \left( {I_{ia}^{\left( k \right)} + I_{ib}^{\left( k \right)} + I_{ic}^{\left( k \right)} } \right)} \\ \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {Y_{iaa} } & {Y_{iab} } & {Y_{iac} } & {Y_{ian} } \\ \scriptsize {Y_{iba} } & {Y_{ibb} } & {Y_{ibc} } & {Y_{ibn} } \\ \scriptsize {Y_{ica} } & {Y_{icb} } & {Y_{icc} } & {Y_{icn} } \\ \scriptsize {Y_{ina} } & {Y_{inb} } & {Y_{inc} } & {Y_{inn} } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} \scriptsize {V_{ia} } \\ \scriptsize {V_{ib} } \\ \scriptsize {V_{ic} } \\ \scriptsize {V_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( {k - 1} \right)} $

Sendo:

$\small Y_{iaa}, Y_{ibb}, Y_{icc}, Y_{inn}$: Admitâncias próprias dos elementos shunt no nó $\small i$.

$\small Y_{ixy}$: Admitância mútua entre os elementos shunt $\small x$ e $\small y$ no nóo $\small i$ $\small \rightarrow$ $\small x=a,$ $\small b,$ $\small c,$ $\small n;$ $\small y=a,$ $\small b,$ $\small c,$ $\small n;$ $\small \forall x \neq y$.

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

Passo 2. Etapa Backward - Cálculo das correntes em todos os ramos: Começando a partir do ramo na última camada e se movimentando em direção do nó principal, a corrente no ramo $\small l$ é:

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}c} {J_{la} } \\ {J_{lb} } \\ {J_{lc} } \\ {J_{ln} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} = - \left[ {\begin{array}{*{20}c} {I_{ia} } \\ {I_{ib} } \\ {I_{ic} } \\ {I_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} + \sum\limits_{m \in M} {\left[ {\begin{array}{*{20}c} {J_{ma} } \\ {J_{mb} } \\ {J_{mc} } \\ {J_{mn} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} } $

Sendo:

$\small M$: Conjunto de ramos ligados à jusante ao nó $j$.

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Algoritmo de Fluxo de Potência:

Passo 3. Etapa Forward - Cálculo da tensão para todos os nós: Começando da primeira camada e se movimentando em direção da última camada, a tensão do nó $\small j$, á jusante do nó $\small i$, é:

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}c} {V_{ja} } \\ {V_{jb} } \\ {V_{jc} } \\ {V_{jn} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {V_{ia} } \\ {V_{ib} } \\ {V_{ic} } \\ {V_{in} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} - \left[ {\begin{array}{*{20}c} {Z_{aa} } & {Z_{ab} } & {Z_{ac} } & {Z_{an} } \\ {Z_{ba} } & {Z_{bb} } & {Z_{bc} } & {Z_{bn} } \\ {Z_{ca} } & {Z_{cb} } & {Z_{cc} } & {Z_{cn} } \\ {Z_{na} } & {Z_{nb} } & {Z_{nc} } & {Z_{nn} } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {J_{la} } \\ {J_{lb} } \\ {J_{lc} } \\ {J_{ln} } \\ \end{array}} \right]^{\left( k \right)} $

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Algoritmo de Fluxo de Potência:

Após esses tres passos serem executados em uma iteração, os erros entre as potências calculadas e as conhecidas de cada nó para todas as fases são calculados usando a seguinte expressao:

$\small \begin{array}{l} {\rm{ }}\Delta S_{ia}^{\left( k \right)} = V_{ia}^{\left( k \right)} \left( {I_{ia}^{\left( k \right)} } \right)^ * + Y_{ia}^ * \left| {V_{ia} } \right|^2 - S_{ia}^{\left( k \right)} \\ {\rm{ }}\Delta S_{ib}^{\left( k \right)} = V_{ib}^{\left( k \right)} \left( {I_{ib}^{\left( k \right)} } \right)^ * + Y_{ib}^ * \left| {V_{ib} } \right|^2 - S_{ib}^{\left( k \right)} \\ {\rm{ }}\Delta S_{ic}^{\left( k \right)} = V_{ic}^{\left( k \right)} \left( {I_{ic}^{\left( k \right)} } \right)^ * + Y_{ic}^ * \left| {V_{ic} } \right|^2 - S_{ic}^{\left( k \right)} \\ \end{array} $

Se a parte real ou imaginária de qualquer erro de potência é maior que o critério de convergência, os passos 1, 2 e 3 são repetidos até alcançar a convergência.

Fluxo de Potência - Sistemas de Distribuiçao

Valores iniciais no algoritmo do Fluxo de Potência:

Um bom procedimento de inicialização dos valores das tensões é:

$\small \left[ {\begin{array}{*{20}c} {V_{ja} } \\ {V_{jb} } \\ {V_{jc} } \\ {V_{jn} } \\ \end{array}} \right]^{\left( 0 \right)} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {V_{Ref} } \\ {a^2 V_{Ref} } \\ {a V_{Ref} } \\ {0 } \\ \end{array}} \right]$

Sendo $\small a = e^{j \frac{2 \pi}{3} }$

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Compensação para barras tipo $\small PV$:

Os geradores distribuídos podem operar considerando valores de potência ativa e potência reativa fixos, ou mantendo um determinado valor de fator de potência.

Nestes dois casos, a barra de conexão é representada como $\small PQ$, sendo desnecessária qualquer importante mudança no algoritmo de fluxo de potência apresentado.

Porém, quando uma unidade geradora é operada especificando sua potência ativa e tensão de saída (tipo $\small PV$), certos procedimentos devem ser implementados para manter essa tensão, assim como para monitorar os níveis da potência reativa.

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Compensação para barras tipo $\small PV$:

Após uma iteração do fluxo de potência, as diferenças encontradas entre as tensões obtidas e as especificadas pelas barras $\small PV$ são minimizadas através do ajuste da injeção de corrente reativa da unidade geradora, dentro das limitações correspondentes de geração de potência reativa.

Assim, na iteração $\small k$, a injeção de corrente reativa, $\small \left[ {I_q } \right]^{\left( k \right)}$, necessária será calculada através da seguinte expressão:

$\small \left[ {Z_{PV} } \right]\left[ {I_q } \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\Delta V_{PV} } \right]^{\left( k \right)}$

Sendo $\small \left[ {\Delta V_{PV} } \right]$ o vetor do erro das tensões trifásicas para todas as barras $\small PV$ (diferença entre os valores calculados e especificados) e $\small \left[ {Z_{PV} } \right]$ a matriz de sensibilidade $\small PV$.

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Compensação para barras tipo $\small PV$:

$\small \left[ {Z_{PV} } \right]\left[ {I_q } \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\Delta V_{PV} } \right]^{\left( k \right)}$

A matriz de sensibilidade $\small \left[ {Z_{PV} } \right]$ é constante e real cuja dimensão é igual ao número de nós $\small PV$ da rede.

A coluna $\small j$ de $\small \left[ {Z_{PV} } \right]$ pode ser determinada aplicando uma corrente $\small I_j = 1,0\angle 90^o$ ao nó $\small PV$ $\small j$, com todas as cargas e geradores removidos, e obtendo as quedas de tensão através de uma varredura à montante e à jusante na rede de sequência positiva.

Os valores de impedância serão numericamente iguais a essas quedas de tensão.

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Compensação para barras tipo $\small PV$:

Considerando $\small npv$ barras $\small PV$, na iteração $\small k$, o processo para corrigir as tensões é o seguinte:

• Passo 1: Calcular a magnitude do erro das tensões de sequência positiva para todas as barras PV.

  $\small \Delta V_{PV,i}^{\left( k \right)} = \left| {V_i^{esp} } \right| - \left| {V_i^{\left( k \right)} } \right|{\rm{ }}, \begin{array}{*{20}c}{ } & { }\end{array} i = 1,2, \ldots ,npv$

  Sendo $\small \left| {V_i^{esp} } \right|$ a magnitude da tensão especificada para o nó $i$. Se qualquer um destes erros for maior que a tolerância especificada, ir ao seguinte passo.

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Compensação para barras tipo $\small PV$:

• Passo 2: Calcular, através da seguinte equaçao, as correntes reativas a serem injetadas nas barras $\small PV$. Se a capacidade de geração de potência reativa for ilimitada, serão injetadas as correntes $\small I_{q,ia}^{\left( k \right)}$, $\small I_{q,ib}^{\left( k \right)}$, $\small I_{q,ic}^{\left( k \right)}$, a 90 graus adiantados da correspondente tensão $\small V_{ia}^{\left( k \right)}$, $\small V_{ib}^{\left( k \right)}$, $\small V_{ic}^{\left( k \right)}$ de cada barra $\small PV$.

  $\small \left[ {Z_{PV} } \right]\left[ {I_q } \right]^{\left( k \right)} = \left[ {\Delta V_{PV} } \right]^{\left( k \right)}$

Este processo iterativo, passos 1 e 2, continua até que os valores de $\small \left[ {\Delta V_{PV} } \right]$ sejam todos menores que a tolerância especificada.

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