Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica

Unidade 3

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

Considerando um sistema de $\small n$ equações não-lineares com $\small n$ incógnitas:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_1}}\\ {{f_2}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_2}}\\ \vdots \\ {{f_n}\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = {c_n}} \end{array} $

ou

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots a_{1n} x_n = {c_1}}\\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots a_{2n} x_n = {c_2}}\\ \vdots \\ {a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + \cdots a_{nn} x_n = {c_n}} \end{array} $

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + \cdots a_{1n} x_n = {c_1}}\\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + \cdots a_{2n} x_n = {c_2}}\\ \vdots \\ {a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + a_{n3} x_3 + \cdots a_{nn} x_n = {c_n}} \end{array} $

Resolvendo para $\small x_1$, $\small x_2$, $\small \cdots$, $\small x_n$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1 = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2 - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3 - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n }\right)}\\ {x_2 = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1 - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3 - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n }\right)}\\ \vdots \\ {x_n = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2 - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1} }\right)} \end{array} $

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1 = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2 - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3 - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n }\right)}\\ {x_2 = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1 - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3 - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n }\right)}\\ \vdots \\ {x_n = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1 - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2 - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1} }\right)} \end{array} $

Na primeira iteração, $\small k = 1$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(0)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(0)} }\right)}\\ {x_2^{(1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(0)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(1)} }\right)} \end{array} $

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(0)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(0)} }\right)}\\ {x_2^{(1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(0)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(0)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(1)} }\right)} \end{array} $

Na iteração $\small k + 1$, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(k + 1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(k)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(k)} }\right)}\\ {x_2^{(k + 1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(k)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(k + 1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(k + 1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(k + 1)} }\right)} \end{array} $

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{(k + 1)} = \frac{c_1}{a_{11}} + \left({ - \frac{a_{12}}{a_{11}} x_2^{(k)} - \frac{a_{13}}{a_{11}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{1n}}{a_{11}} x_n^{(k)} }\right)}\\ {x_2^{(k + 1)} = \frac{c_2}{a_{22}} + \left({ - \frac{a_{21}}{a_{22}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{23}}{a_{22}} x_3^{(k)} - \cdots - \frac{a_{2n}}{a_{22}} x_n^{(k)} }\right)}\\ \vdots \\ {x_n^{(k + 1)} = \frac{c_n}{a_{nn}} + \left({ - \frac{a_{n1}}{a_{nn}} x_1^{(k + 1)} - \frac{a_{n2}}{a_{nn}} x_2^{(k + 1)} - \cdots - \frac{a_{nn-1}}{a_{nn}} x_{n-1}^{(k + 1)} }\right)} \end{array} $

Para $\small i = 1, 2, 3, \cdots, n$, na iteração $\small k + 1$, tem-se que:

$\small x_i^{(k + 1)} = \frac{c_i}{a_{ii}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k + 1)} } - \sum\limits_{j = i + 1}^{n} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k)} } $

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

Considere o barramento típico de uma rede de um sistema de potência apresentado na figura a seguir.

As linhas de transmissão estão representadas pelo seu modelo equivalente $\small \pi$ com as impedâncias convertidas a admitâncias em pu, usando uma mesma potência base.

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

Aplicando a lei de correntes de Kirchhoff.

$\small {I_i} = {y_{i0}}{V_i} + {y_{i1}}\left( {{V_i} - {V_1}} \right) + {y_{i2}}\left( {{V_i} - {V_2}} \right) + \cdots + {y_{in}}\left( {{V_i} - {V_n}} \right)$

$\small {I_i} = \left( {{y_{i0}} + {y_{i1}} + {y_{i2}} + \cdots + {y_{in}}} \right){V_i} - {y_{i1}}{V_1} - {y_{i2}}{V_2} - \cdots - {y_{in}}{V_n}$

ou

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{I_i} = {V_i}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}{\rm{ }}$

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{I_i} = {V_i}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}{\rm{ }}$

A expressão de potência ativa e reativa na barra $\small i$ é:

$\small P_i + jQ_i = V_i I_i^*$

ou

$\small I_i = \frac{P_i - jQ_i}{V_i^*}$

Assim, temos que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}} = }&{{V_i}} \end{array}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}$

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}} = }&{{V_i}} \end{array}\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}} - \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j}} ;}&{j \ne i} \end{array}$

Em estudos de fluxo de potência, é necessário resolver um conjunto de equações não-lineares representadas pela equação anterior para dois variáveis desconhecidas em cada barra. No Método de Gauss-Seidel, a equação anterior é resolvida para $\small V_i$ e a sequência iterativa fica da seguinte forma:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j^{\left( {k} \right)}}} }}{{{\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}}}}};}&{j \ne i} \end{array}$

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} + \sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}{V_j^{\left( {k} \right)}}} }}{{{\sum\limits_{j = 0}^n {{y_{ij}}}}}};}&{j \ne i} \end{array}$

Lembrando que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \end{array}\sum\limits_{j = 0, j \ne i}^n {{y_{ij}}} = Y_{ii} ;}&{\sum\limits_{j = 1}^n {{y_{ij}}} = - \sum\limits_{j = 1}^n {{Y_{ij}}}} \end{array}$

Temos a seguinte expressão:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} }}{{{Y_{ii}}}}} \end{array}$

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} }}{{{Y_{ii}}}}} \end{array}$

Assim, para a aplicação do Método de Gauss-Seidel, pode ser usada a seguinte expressão:

$\small V_i^{(k + 1)} = \frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}^{(k)} Y_{ii} } - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k + 1)}}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k)}}}$

Comparando com a formulação genérica do método, tem-se que:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {{V_i} = {x_i};}&{{V_j} = {x_j};}&{{Y_{ii}} = {a_{ii}};}&{{Y_{ij}} = {a_{ij}};}&{\frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*}} = {c_i}} \end{array}$

$\small x_i^{(k + 1)} = \frac{c_i}{a_{ii}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k + 1)} } - \sum\limits_{j = i + 1}^{n} { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} x_j^{(k)} } $

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

$\small V_i^{(k + 1)} = \frac{{{P_i} - j{Q_i}}}{{V_i^*} Y_{ii} } - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k + 1)}}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k)}}}$

A anterior expressão também pode ser rearranjada como:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {V_i^{\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\frac{{P_i - jQ_i}}{{V{{_i^*}^{(k)}}}} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k + 1)}}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {{\frac{Y_{ij}}{Y_{ii}}}{V_j^{(k)}}} }}{{{Y_{ii}}}}} \end{array}$

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

De forma similar, seguindo uma sequência iterativa e usando a expressão já demonstrada para o cálculo de $\small V_i^{\left( {k + 1} \right)}$, para calcular $\small P_i^{\left( {k + 1} \right)}$ e $\small Q_i^{\left( {k + 1} \right)}$ podem se usar as expressões:

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {P_i^{\left( {k + 1} \right)} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {V{{_i^*}^{(k)}}\left[ {V_i^{(k)}{Y_{ii}} + \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} } \right]} \right\}} \end{array}$

$\small \begin{array}{*{20}{c}} {Q_i^{\left( {k + 1} \right)} = - {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left\{ {V{{_i^*}^{(k)}}\left[ {V_i^{(k)}{Y_{ii}} + \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {{Y_{ij}}V_j^{(k)}} } \right]} \right\}} \end{array}$

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

O que determina quais são as variáveis desconhecidas em cada barra é o tipo de barra, definidos a seguir:

• Barra slack ou de folga (barra tipo $\small V \theta$): Esta barra existe para suprir as perdas do sistema, desconhecidas até a solução da rede. Só existe uma barra flutuante em todo o sistema. Variáveis desconhecidas: $\small P$ e $\small Q.$

• Barra de carga (barra tipo $\small PQ$): Não existe qualquer controle de tensão nesta barra. A maioria das barras é deste tipo, aproximadamente 95% do total das barras Variáveis desconhecidas: $\small V$ e $\small \theta$.

• Barra de tensão controlada (barra tipo $\small PV$): Existem dispositivos de controle que permitem manter $\small P$ e $\small | V |$ em valores especificados, tais como geradores e compensadores síncronos. Algumas das barras do sistema são deste tipo, representando aproximadamente 5% do total de barras. Variáveis desconhecidas: $\small Q$ e $\small \theta$.

Fluxo de Potência - Método Gauss-Seidel

O processo de solução, usando o Método Gauss-Seidel, depende do tipo de barra, como especificado a seguir:

• Barra tipo $\small V \theta$. Nesta barra, a tensão (em módulo e ângulo) são conhecidas. Assim, após calcular a tensão nas outras barras do sistema, utiliza-se este resultado para calcular os valores das variáveis desconhecidas para esta barra ($\small P$ e $\small Q$).

• Barra tipo $\small PQ$. Nestas barras, os valores de potência ativa e reativa, correspondentes às cargas, são conhecidos ($\small P^{esp}$ e $\small Q^{esp}$). Assim, utiliza-se a expressão de tensão para calcular os valores das variáveis desconhecidas neste tipo de barra ($\small V$ e $\small \theta$).

• Barra tipo $\small PV$. Neste tipo de barra, a potência ativa, $\small P^{esp}$ (geração de potẽncia ativa), e o módulo da tensão, $\small | V |$, são conhecidos. Assim, calculam-se primeiro os valores de potência reativa, utilizando a expressão correspondente, e, com este resultado, calculam-se os valores dos ângulos das tensões, $\small \theta$, nas barras deste tipo.

Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica