Análise de Sistemas de Energia Elétrica
Departamento de Engenharia Elétrica
Unidade 2
2.1. Equações Nodais
2.2. Modelo Admitância Nodal
2.3. Montagem Direta da Matriz Admitância Nodal
Equações Nodais
Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostrado:
Equações Nodais
Transformando cada fonte de tensão em série com impedância em fonte de corrente em paralelo com admitância e as impedâncias das linhas em admitâncias, obtem-se o seguinte sistema:
Equações Nodais
Transformação das fontes:
$\small {I}_1 = \frac{{V}_1}{z_{11}} = \frac{{V}_1}{z_{g1} + z_{t1}}; \ \ \ \ y_1 = \frac{1}{z_{11}} = \frac{1}{z_{g1} + z_{t1}}$
$\small {I}_2 = \frac{{V}_2}{z_{22}} = \frac{{V}_2}{z_{g2} + z_{t2}}; \ \ \ \ y_1 = \frac{1}{z_{22}} = \frac{1}{z_{g2} + z_{t2}}$
$\small {I}_3 = \frac{{V}_3}{z_{33}} = \frac{{V}_3}{z_{g3} + z_{t3}}; \ \ \ \ y_1 = \frac{1}{z_{33}} = \frac{1}{z_{g3} + z_{t3}}$
$\small y_4 = \frac{1}{z_{12}}; \ \ \ \ y_5 = \frac{1}{z_{23}}; \ \ \ \ y_6 = \frac{1}{z_{13}}$
Equações Nodais
Equações nodais:
$\small {\rm{Barra \ 1:}} \ \ {I}_1 = y_4 \left( { {V}_1 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_1 - {V}_3 } \right) + y_1 \left( { {V}_1 - {V}_0 } \right)$
$\small {\rm{Barra \ 2:}} \ \ {I}_2 = y_5 \left( { {V}_2 - {V}_3 } \right) + y_4 \left( { {V}_2 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_2 - {V}_0 } \right)$
$\small {\rm{Barra \ 3:}} \ \ {I}_3 = y_5 \left( { {V}_3 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_3 - {V}_1 } \right) + y_3 \left( { {V}_3 - {V}_0 } \right)$
$\small {\rm{Barra \ 0:}} \ \ - {I}_1 - {I}_2 - {I}_3 = y_1 \left( { {V}_0 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_0 - {V}_2 } \right) + y_3 \left( { {V}_0 - {V}_3 } \right)$
Equações Nodais
$\small {\rm{Barra \ 1:}} \ \ {I}_1 = y_4 \left( { {V}_1 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_1 - {V}_3 } \right) + y_1 \left( { {V}_1 - {V}_0 } \right)$
$\small {\rm{Barra \ 2:}} \ \ {I}_2 = y_5 \left( { {V}_2 - {V}_3 } \right) + y_4 \left( { {V}_2 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_2 - {V}_0 } \right)$
$\small {\rm{Barra \ 3:}} \ \ {I}_3 = y_5 \left( { {V}_3 - {V}_2 } \right) + y_6 \left( { {V}_3 - {V}_1 } \right) + y_3 \left( { {V}_3 - {V}_0 } \right)$
$\small {\rm{Barra \ 0:}} \ \ - {I}_1 - {I}_2 - {I}_3 = y_1 \left( { {V}_0 - {V}_1 } \right) + y_2 \left( { {V}_0 - {V}_2 } \right) + y_3 \left( { {V}_0 - {V}_3 } \right)$
A equação da barra 0 é linearmente dependente das outras três equações. Basta somar as equações das barras 1, 2, 3 para verificar. Agrupando os termos das equações das barras 1, 2, 3, tem-se:
$\small {I}_1 = \left( { y_1 + y_4 + y_6 } \right) {V}_1 - y_4 {V}_2 - y_6 {V}_3$
$\small {I}_2 = - y_4 {V}_1 + \left( { y_2 + y_4 + y_5 } \right) {V}_2 - y_5 {V}_3$
$\small {I}_3 = - y_6 {V}_1 - y_5 {V}_2 + \left( { y_3 + y_5 + y_6 } \right) {V}_3$
Equações Nodais
$\small {I}_1 = \left( { y_1 + y_4 + y_6 } \right) {V}_1 - y_4 {V}_2 - y_6 {V}_3$
$\small {I}_2 = - y_4 {V}_1 + \left( { y_2 + y_4 + y_5 } \right) {V}_2 - y_5 {V}_3$
$\small {I}_3 = - y_6 {V}_1 - y_5 {V}_2 + \left( { y_3 + y_5 + y_6 } \right) {V}_3$
Expressão geral da injeção de corrente:
$\small {I}_k = \sum\limits_{m \in \Omega_k} {Y_{km} {V}_m}$
Em que $\small \Omega_k$ é o conjunto de todas as barras ligadas à barra $\small k$.
Matriz Admitância de Barra
$\small {I}_1 = \left( { y_1 + y_4 + y_6 } \right) {V}_1 - y_4 {V}_2 - y_6 {V}_3$
$\small {I}_2 = - y_4 {V}_1 + \left( { y_2 + y_4 + y_5 } \right) {V}_2 - y_5 {V}_3$
$\small {I}_3 = - y_6 {V}_1 - y_5 {V}_2 + \left( { y_3 + y_5 + y_6 } \right) {V}_3$
Na forma matricial:
$\small {Y_{\rm{Barra}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 + y_4 + y_6 & - y_4 & - y_6 \\ - y_4 & y_2 + y_4 + y_5 & - y_5 \\ - y_6 & - y_5 & y_3 + y_5 + y_6 \end{array}} \right]$
Matriz Admitância de Barra
Na forma matricial:
$\small {Y_{\rm{Barra}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 + y_4 + y_6 & - y_4 & - y_6 \\ - y_4 & y_2 + y_4 + y_5 & - y_5 \\ - y_6 & - y_5 & y_3 + y_5 + y_6 \end{array}} \right]$
$\small {I} = \left[ { {I}_1 \ \ {I}_2 \ \ {I}_3 } \right]^T $ é o vetor de injeção de corrente na rede por fontes independentes.
$\small {V} = \left[ { {V}_1 \ \ {V}_2 \ \ {V}_3 } \right]^T $ é o vetor de tensão nas barras em relação à referência.
$\small {Y_{\rm{Barra}}}$ é a matriz de admitância de barra ou matriz de admitância nodal.
Matriz Admitância de Barra
Características da Matriz $\small {Y_{\rm{Barra}}}$:
Simétrica.
Complexa.
Quadrada de dimensão $\small n$, sendo $\small n$ é o número de barras do sistema sem contar a barra de referência.
Esparsa, mais de 95% dos elementos é nulo, o que é uma vantagem.
Os elementos da diagonal principal são positivos.
Os elementos fora da diagonal principal são negativos.
Exemplo 2.1.1: Matriz Admitância de Barra
Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever $\small {I} = {Y_{\rm{Barra}}} {V}$, que corresponde ao diagrama unifilar do sistema acima.
Programa em MatLab/Octave para gerar a matriz admitância de barra $\small {Y_{\rm{Barra}}}$:
for i=1:nramos
yprim(i)=1/(r(i)+j*x(i));
end
Ybus=zeros(nnos);
for i=1:nramos
Ybus(noin(i),nofi(i))=-yprim(i);
Ybus(nofi(i),noin(i))=-yprim(i);
Ybus(noin(i),noin(i))=Ybus(noin(i),noin(i))+j*yprim(i);
Ybus(nofi(i),nofi(i))=Ybus(nofi(i),nofi(i))+j*yprim(i);
end
Montagem Direta da Matriz Admitância de Barra
Passos para montagem direta da Matriz $\small {Y_{\rm{Barra}}}$:
Os elementos da diagonal principal $\small Y_{kk}$ são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à barra $\small k$.
Os elementos fora da diagonal principal $\small Y_{kj}$ são o simétrico da soma das admitâncias que ligam as barras $\small k$ e $\small j$.
Exemplo 2.1.2: Montagem Direta da Matriz Admitância de Barra
Escrever a matriz $\small {Y_{\rm{Barra}}} $, que corresponde ao diagrama unifilar do sistema acima, utilizando os passos de motagem direta.
Admitâncias primitivas:
$\small y_{13} = \frac{1}{z_{13}} = \frac{1}{j0,25} = -j4; \ \ y_{14} = \frac{1}{z_{14}} = \frac{1}{j0,2} = -j5; \ \ y_{24} = \frac{1}{z_{24}} = \frac{1}{j0,2} = -j5$
$\small y_{23} = \frac{1}{z_{23}} = \frac{1}{j0,4} = -j2,5; \ \ y_{34} = \frac{1}{z_{34}} = \frac{1}{j0,125} = -j8$
$\small y_{11} = y_{22} = y_{33} = \frac{1}{z_{g} + z_{t}} = \frac{1}{j1,15 + j0,1} = -j0,8$
Passo 1: Os elementos da diagonal principal $\small Y_{kk}$ são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à barra $\small k$.
$\small Y_{11} = y_{11} + y_{13} + y_{14} = -j9,8; \ \ Y_{22} = y_{22} + y_{23} + y_{24} = -j8,3$
$\small Y_{33} = y_{13} + y_{23} + y_{33} + y_{34} = -j15,3; \ \ Y_{44} = y_{14} + y_{24} + y_{34} = -j18$
Passo 2: Os elementos fora da diagonal principal $\small Y_{kj}$ são o simétrico da soma das admitâncias que ligam as barras $\small k$ e $\small j$.
$\small Y_{12} = Y_{21} = 0; \ \ Y_{13} = Y_{31} = -y_{13} = j4; \ \ Y_{14} = Y_{41} = -y_{14} = j5 $
$\small Y_{23} = Y_{32} = -y_{23} = j2,5; \ \ Y_{24} = Y_{42} = -y_{24} = j5 $
$\small Y_{34} = Y_{43} = -y_{34} = j8 $
$\small {Y_{\rm{Barra}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -9,8 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -8,3 & 2,5 & 5 \\ 4 & 2,5 & -15,3 & 8 \\ 5 & 5 & 8 & -18 \end{array}} \right]$
Análise de Sistemas de Energia Elétrica
Departamento de Engenharia Elétrica