Análise de Sistemas de Energia Elétrica

Departamento de Engenharia Elétrica

Unidade 1

1.2. Potência Complexa

Introdução

• O conceito de potência aparente ou complexa é de fundamental importância em sistemas elétricos de potência.

• Nesta seção, será estudado o conceito de fluxo de energia em um circuito de corrente alternada.

• Usando várias identidades trigonométricas, a potência complexa, $\small p \left({ t }\right)$, será decomposta em duas componentes.

Introdução

• Através da análise das compnentes de $\small p \left({ t }\right)$, pode-se observar que a rede de corrente alternada não somente absorve energia, mas também devolve energia a suas fontes.

• Como resultado dessa análise, definem-se as potências:

• Complexa $\small S$.

• Ativa $\small P$.

• Reativa $\small Q$.

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small v(t) = V_m cos \left({ \omega t + \theta_v }\right)$

$\small i(t) = I_m cos \left({ \omega t + \theta_i }\right)$

$\small p(t) = v(t) i(t) = V_m I_m cos \left({ \omega t + \theta_v }\right) cos \left({ \omega t + \theta_i }\right)$

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small p(t) = v(t) i(t) = V_m I_m cos \left({ \omega t + \theta_v }\right) cos \left({ \omega t + \theta_i }\right)$

$\small cos A \cdot cos B = \frac{1}{2} cos \left({ A - B }\right) + \frac{1}{2} cos \left({ A + B }\right) $

$\small p(t) = \frac{1}{2}{V_m}{I_m}[ cos \left( {{\theta _v} - {\theta _i}} \right) + cos 2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)cos \left( {{\theta _v} - {\theta _i}} \right) +$
$\small sen2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)sen\left( {{\theta _v} - {\theta _i}} \right)]$

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small p(t) = \frac{1}{2}{V_m}{I_m}[ cos \left( {{\theta _v} - {\theta _i}} \right) + cos 2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)cos \left( {{\theta _v} - {\theta _i}} \right) +$
$\small sen2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)sen\left( {{\theta _v} - {\theta _i}} \right)]$

$\small {v_{rms}}(t) = \left| V \right| = \frac{{{V_m}}}{{\sqrt 2 }}$
$\small {i_{rms}}(t) = \left| I \right| = \frac{{{I_m}}}{{\sqrt 2 }}$

$\small \theta = \theta_v - \theta_i$

$\small p(t) = \left| V \right|\left| I \right|cos \theta \left[ {1 + cos 2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)} \right] +$
$\small \left| V \right|\left| I \right|sen\theta sen2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)$

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small p(t) = \left| V \right|\left| I \right|cos \theta \left[ {1 + cos 2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)} \right] +$
$\small \left| V \right|\left| I \right|sen\theta sen2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)$

$\small p_R(t) = \left| V \right|\left| I \right|cos \theta \left[ {1 + cos 2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)} \right] $

$\small p_X(t) = \left| V \right|\left| I \right|sen\theta sen2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)$

• $\small \theta$ é positivo se a carga é indutiva (corrente atrasada em relação à tensão).

• $\small \theta$ é negativo se a carga é capacitiva (corrente adiantada em relação à tensão).

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small p_R(t) = \left| V \right|\left| I \right| cos \theta + \left| V \right|\left| I \right| cos \theta cos 2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right) $

• O segundo termo de $\small p_R(t)$ , com frequência duas vezes a da fonte, está relacionado com a absorção de potência do elemento resistivo da carga.

• Como o valor médio da função senoidal é zero, então a potência média da função $\small p_R(t)$ é dado por:

  $\small P = \left| V \right|\left| I \right|cos \theta $

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small P = \left| V \right|\left| I \right|cos \theta $

• $\small P $ é a potência absorvida pela componente resistiva da carga.

• $\small P $ é conhecida como potência ativa.

• O produto dos valores rms $\small \left| V \right|\left| I \right| $ é conhecido como potência complexa.

• O valor do $\small cos \theta $ é conhecido como fator de potência.

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small P = \left| V \right|\left| I \right|cos \theta $

• Quanto a corrente atrasa a tensão, o fator de potência é considerado como atrasado.

• Quanto a corrente adianta a tensão, o fator de potência é considerado como adiantado.

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

$\small p_X(t) = \left| V \right|\left| I \right|sen\theta sen2\left( {\omega t + {\theta _v}} \right)$

• A componente $\small p_X(t)$ tem o dobro da frequência da fonte e tem valor médio igual a zero.

• Relacionada com a oscilação potência dentro e fora da carga causada pelo seu elemento reativo (indutivo ou capacitivo).

• A amplitude deste elemento é chamada de potência reativa:

  $\small Q = \left| V \right|\left| I \right|sen \theta $

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

• Tanto $\small P$ quanto $\small Q$ têm a mesma dimensão. Porém, para diferenciar entre a potência ativa e reativa, é usado o termo "var" de ("volt-ampere reativo") para a potência reativa.

• Para uma carga resistiva pura, o ângulo da impedância é zero e o fator de potência é unitário, de tal forma que a potência complexa e a potência ativa são iguais. $\small \rightarrow$ A energia elétrica é transformada em energia térmica.

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

• Se o circuito for puramente indutivo, a corrente atrasa a tensão em 90 $\small ^\circ$ e a potência média é zero.

• Em um circuito puramente indutivo não há transformação de energia de uma forma elétrica a uma forma não-elétrica.

• A potência instantânea nos terminais de um circuito puramente indutivo oscila entre o circuito e a fonte: Quando $\small p(t)$ é positivo, a energia está sendo armazenada no campo magnético associado aos componentes indutivos, e quando $\small p(t)$ é negativo a energia está sendo extraída do campo magnético dos elementos indutivos.

Potência em Circuitos Monofásicos de Corrente Alternada

• Se o circuito for puramente capacitivo, a corrente adianta a tensão em 90 $\small ^\circ$ e a potência média é zero.

• Em um circuito puramente capacitivo não há transformação de energia de uma forma elétrica a uma forma não-elétrica.

• A potência instantânea nos terminais de um circuito puramente capacitivo oscila entre a fonte e o campo elétrico associado aos componentes capacitivos.

Potência Complexa

• A tensão e corrente (fasores em valores rms) são:

  $\small V = \left| V \right| \angle \theta_v $
  $\small I = \left| I \right| \angle \theta_i $

  

Potência Complexa

• O termo $\small VI^*$ resulta em:

  $\small VI^* = \left| V \right| \left| I \right| \angle \theta_v - \theta_i = \left| V \right| \left| I \right| \angle \theta $

  $\small VI^* = \left| V \right| \left| I \right| cos \theta + j \left| V \right| \left| I \right| sen \theta $
  

• A anterior expressão define uma quantidade complexa sendo que sua parte real é a potência ativa $\small P$ e sua parte imaginária é a potência reativa $\small Q$.

  $\small S = VI^* =P + j Q $
  

Potência Complexa

• A potência complexa tem significado prático para a concessionária já que ela deve fornecer ambas potências, ativa e reativa, aos consumidores.

• A potência reativa é positiva quando o ângulo de fase $\small \theta$ entre a tensão e a corrente (ângulo da impedância) é positivo (quando a corrente atrasa a tensão).

  

Potência Complexa

• A potência reativa é negativa quando o ângulo de fase $\small \theta$ entre a tensão e a corrente (ângulo da impedância) é negativo (quando a corrente adianta a tensão).

  

Potência Complexa

• Usando $\small V = Z I$:

  $\small S = VI^* = Z I I = R \left| I \right|^2 + j X \left| I \right|^2 $
  

  ou
  

  $\small S = VI^* = \frac{V V^*}{Z^*} = \frac{\left| V \right|^2}{Z^*} $

Balanço de Potência Complexa

• Do princípio de conservação da energia, é claro que a potência ativa fornecida pela fonte é igual à soma das potências ativas absorvidas pelas cargas. Ao mesmo tempo, o balanço de potência reativa deve ser mantido.

• Assim, a potência complexa total fornecida às cargas em paralelo é a soma das potências complexas de cada uma delas.

Balanço de Potência Complexa

Para as três cargas mostradas na figura, a potência complexa total é dada por:

$\small S = VI^* = V \left[{ I_1 + I_2 + I_3 } \right]^* = V I_1^* + V I_2^* + V I_3^* $

Correção do Fator de Potência

• Da expressão de potência ativa $\small P = \left| V \right| \left| I \right| cos \theta$, pode ser observado que a potência aparente será maior que $\small P$ se o fator de potência for menor que 1.

• Assim, a corrente $\small I$ que deve ser fornecida pela fonte deve ser maior para fator de potência menor que 1, do que para fator de potência igual a 1, mesmo que a potência ativa $\small P$ seja a mesma nos dois casos.

• Uma corrente maior não pode ser fornecida sem custo adicional para a empresa concessionária.

Correção do Fator de Potência

• Portanto, é de interesse para a concessionária (e para os consumidores) que a maior quantidade de cargas no sistema estejam com fator de potência próximo de 1. Para conseguir este objetivo, as concessionárias instalam bancos de capacitores através da rede, conforme seja necessário.

• A concessionária também pode impor uma taxa adicional a consumidores industriais com baixo fator de potência.

• Esta consideração não é importante para consumidores residenciais e comerciais pequenos porque seu fator de potência é próximo de 1.

Fluxo de Potência Complexa

• Considere duas fontes ideais de tensão conectadas por uma linha de impedância $\small Z = R + jX = \left|{Z}\right| \angle \gamma$ $\small \Omega$, como mostrado na figura:

  

• Com $\small V_1 = \left|{V_1}\right| \angle \delta_1 $ e $\small V_2 = \left|{V_2}\right| \angle \delta_2$, a corrente $\small I_{12}$ é:

  $\small I_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| \angle \delta_1 - \left|{V_2}\right| \angle \delta_2}{\left|{Z}\right| \angle \gamma}$

Fluxo de Potência Complexa

• A potência complexa, de 1 para 2, é dada por:

  $\small S_{12} = V_1 I_{12}^* = \left|{V_1}\right| \angle \delta_1 \left[{ \frac{\left|{V_1}\right| }{\left|{Z}\right|} \angle \left({\gamma - \delta_1}\right) - \frac{\left|{V_2}\right| }{\left|{Z}\right|} \angle \left({\gamma - \delta_2}\right) } \right] $
  $\small = \frac{\left|{V_1}\right|^2 }{\left|{Z}\right|} \angle \gamma - \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{\left|{Z}\right|} \angle \left({\gamma +\delta_1 - \delta_2}\right) $

• Assim, as potências ativa e reativa no lado emissor são:

  $\small P_{12} = \frac{\left|{V_1}\right|^2 }{\left|{Z}\right|} cos \gamma - \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{\left|{Z}\right|} cos \left({\gamma +\delta_1 - \delta_2}\right) $
  $\small Q_{12} = \frac{\left|{V_1}\right|^2 }{\left|{Z}\right|} sen \gamma - \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{\left|{Z}\right|} sen \left({\gamma +\delta_1 - \delta_2}\right) $

Fluxo de Potência Complexa

$\small P_{12} = \frac{\left|{V_1}\right|^2 }{\left|{Z}\right|} cos \gamma - \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{\left|{Z}\right|} cos \left({\gamma +\delta_1 - \delta_2}\right) $
$\small Q_{12} = \frac{\left|{V_1}\right|^2 }{\left|{Z}\right|} sen \gamma - \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{\left|{Z}\right|} sen \left({\gamma +\delta_1 - \delta_2}\right) $

• As linhas de transmissão têm pequena resistência comparada com a reatância. Assimindo que $\small R=0$, as equações acima passam a ser:

  $\small P_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{X} sen \left({\delta_1 - \delta_2}\right) $
  $\small Q_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| }{X} \left[{ \left|{V_1}\right| - \left|{V_2}\right| cos \left({\delta_1 - \delta_2}\right) }\right] $

Fluxo de Potência Complexa

$\small P_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{X} sen \left({\delta_1 - \delta_2}\right) $
$\small Q_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| }{X} \left[{ \left|{V_1}\right| - \left|{V_2}\right| cos \left({\delta_1 - \delta_2}\right) }\right] $

• Como $\small R = 0$, então não há perdas na linha de transmissão e a potência ativa enviada é igual à potência ativa recebida.

• A equação de potência ativa acima, $\small P_{12}$, mostra que pequenas mudanças em $\small \delta_1$ e $\small \delta_2$ terão um efeito significativo no fluxo de potência ativa, enquanto que pequenas mudanças nas magnitudes das tensões não terão efeito apreciável no fluxo de potência ativa.

Fluxo de Potência Complexa

$\small P_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{X} sen \left({\delta_1 - \delta_2}\right) $
$\small Q_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| }{X} \left[{ \left|{V_1}\right| - \left|{V_2}\right| cos \left({\delta_1 - \delta_2}\right) }\right] $

• O fluxo de potência ativa em uma linha de transmissão está governado principalmente pela diferença angular entre as tensões terminais.

• Se $\small V_1$ adianta $\small V_2$, então $\small \delta = \delta_1 - \delta_2$ é positivo e a potência ativa flui do nó 1 para o nó 2

• Se $\small V_1$ atrasa $\small V_2$, então $\small \delta$ é negativo e a potência ativa flui do nó 2 para o nó 1

Fluxo de Potência Complexa

$\small P_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{X} sen \left({\delta_1 - \delta_2}\right) $
$\small Q_{12} = \frac{\left|{V_1}\right| }{X} \left[{ \left|{V_1}\right| - \left|{V_2}\right| cos \left({\delta_1 - \delta_2}\right) }\right] $

• A máxima potência ativa teórica (capacidade estática de transmissão) que pode ser transferida entre os nós 1 e 2 é:

  $\small P_{12}^{Max} = \frac{\left|{V_1}\right| \left|{V_2}\right| }{X} $

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